Sea A un conjunto numérico en el cual se ha definido la operación 
.
Si para a = b se tiene que a c = bc para todo número a, b y c de A se dice que en A se cumple la propiedad uniforme para .
Si para a y b números de A se tiene que ab está en A, se dice que en A se cumple la propiedad clausurativa para .
Si para a y b números de A se tiene que ab = ba, se dice que en A se cumple la propiedad conmutativa para la operación .
Si para a, b y c números de A se tiene que (ab)c = a(bc) se dice que en A se cumple la propiedad asociativa para la operación .
Si existe un único número n en A que satisfaga la condición an = na = a para cualquier a de A, se dice que en A se cumple la propiedad del neutro o módulo para la operación . Al número n se le llama neutro para la operación .
Si para cualquier elemento a de A existe un único elemento x de A que satisfaga que ax = xa = n, se dice que en A se cumple la propiedad del inverso para la operación .
Si en A se define otra operación 
y si para a, b y c números de A se satisface que a (b c) = (ab)(ac), se dice que en A se cumple la propiedad distributiva de la operación con respecto a la operación .
20+5=25 es un ejemplo donde se verifica, no se demuestra porque un ejemplo no demuestra la regla general pero un contraejemplo si comprueba la falsedad de la afirmación, que se cumple la propiedad clausurativa para la suma y se puede observar en los Números Naturales o Enteros o Racionales o Reales, pero no sirve de ejemplo en los Irracionales porque 20, 5 y 25 no son Irracionales.
√2 x √8 = 4 es un ejemplo donde se cumple la propiedad clausurativa para la multiplicación de números reales, pero no se cumple dicha propiedad para el conjunto de los números irracionales porque √2 y √8 son irracionales y 4 no lo es.
-2 x (-2 x 5) = + (-2 x 3) es equivalente a tener -2 x 8 = (-10) + (-6) y se obtiene que -16 = -16 es un ejemplo de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de Números Enteros ó Racionales ó Reales porque -2, 5 y 3 pertenecen a dichos conjuntos, pero no se pueden mencionar los números Naturales ni los Irracionales porque todos los números que intervienen en el ejemplo, -2, 5 y 3 no pertenecen a ellos.
5.31311311131111... + 4.0202202220222... = 9.3333333 es equivalente a tener 
es un ejemplo de la propiedad clausurativa para la suma de Números Reales porque 5.31311311131111..., 4.02022022202222 y 9.3333333 los son, pero no se pueden utilizar como ejemplo en los conjunto numéricos de los Naturales, Enteros, Racionales ni Irracionales. Como inicialmente 5.31311311131111... y 4.02022022202222... son Números Irracionales, se puede concluir que en este conjunto numérico no se cumple la propiedad clausurativa para la suma porque en este caso el resultado es un número racional.
-√3 + 0 = 0 + (-√3) = -√3 es un ejemplo de la propiedad del neutro para la suma de Números Reales porque -√3 y 0 pertenecen al conjunto de los Reales, pero no es ejemplo para los Números Naturales, Enteros, Racionales ni Irracionales, ambos números no hacen parte de esos conjuntos numéricos. Pero algo que si se puede concluir es que no se cumple la propiedad del neutro para la suma de Números Irracionales porque 0 no es irracional.
Como 4/2 ≠ 2/4, porque 2 ≠ 0.5, se puede concluir que la propiedad conmutativa para la división de Números Naturales, Enteros, Racionales ó Reales no se cumple. Inclusive se puede afirmar, por el resultado obtenido del lado derecho, que la división de Números Naturales ó Enteros no es clausurativa.
Como √2 - 3√2 ≠ 3√2 - √2 porque -2√2 ≠ 2√2 se puede concluir que la propiedad conmutativa para la diferencia de Números Irracionales ó Reales no se cumple.
(√3 x √3) x 2 = √3 x (√3 x 2) porque 3 x 2 = √3 x 2√3 que da 6=6 es un ejemplo donde se verifica la propiedad asociativa para la multiplicación de Números Irracionales o Reales.
Como 2 - (5 x 3) ≠ (2 - 5) x (2 - 3) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 2 - 15 ≠ (-3) x (-1), que da -13 ≠ 3, se puede decir que no se cumple la propiedad distributiva de la resta con respecto a la multiplicación de Números Naturales, Enteros, Racionales ó Reales.
¿Se cumple 
? No, porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 
que es 
. Se puede decir que no se cumple la propiedad asociativa de la resta en los Números Racionales ó Reales.
Como 15/(5 x 3) ≠ (15/5) x (15/3) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 1 ≠ 3 x 5, que da 1 ≠ 15, se puede decir que no se cumple la propiedad distributiva de la división con respecto a la multiplicación de Números Naturales, Enteros, Racionales ó Reales.
Como 27/(9/3) ≠ (27/9)/3 porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 27/-15 ≠ (-3) x (-1), que da -13 ≠ 3, se puede decir que no se cumple la propiedad asociativa de la división de Números Naturales, Enteros, Racionales ó Reales.
a(b x c) = ab x ac se verifica cuando a, b o c sean cero y también se cumple para a=1. Pero si las letras toman valores distintos de estos en los naturales, enteros, racionales o irracionales la igualdad no se cumple. Por ejemplo, si a = 2, b = 3 y c = 5 se tiene que 2(3 x 5) ≠ 2.3 x 2.5 porque 30 ≠ 60. Por tan la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la multiplicación no se verifica para ningún conjunto numérico.
se verifica cuando a = 0 o c = 1 con b ≠ 0. Pero si a o c toman valores distintos de los mencionados con b ≠ 0 en Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales ó Reales la igualdad no se cumple. Al reemplazar a = b = √2 y c = 3 en se tiene que 
porque 3 ≠ 1. Por tanto la distributiva de la multiplicación con respecto a la división no se cumple en ninguno de los conjuntos numéricos. Se menciona dicha propiedad porque utilizando la otra simbología para expresar se tiene c x (a/b) = (c * a)/(c * b).
se verifica para todos los valores en los conjuntos numéricos conocidos con la condición que b y c sean diferentes de cero. Se puede verificar que es cierto cambiando la simbología:
se cumple si a = 0 con b y c diferentes de cero. Si a = 8, b = 4 y c = 2 se obtiene 
porque 
que es lo que se obtiene después de hacer las simplificaciones. Cambiando la simbología en se tiene a/(b + c) = (a/b) + (a/c) y se concluye entonces que la división no es distributiva con respecto a la suma para ningún conjunto numérico.
Sea A, por ejemplo, el conjunto de los Números Naturales y se tomarán las operaciones suma, resta, multiplicación y división.
Para el conjunto de los Números Naturales con la operación suma, que se denota por +, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a + c = b + c para todos los Números Naturales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la suma de dos Números Naturales da otro Número Natural.
La propiedad conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado.
La propiedad asociativa porque (a + b) + c = a + (b + c) para todos los Números Naturales a, b y c.
No cumple:
Existencia del elemento neutro porque no existe el único Número Natural n que cumpla que a + n = n + a = a para cualquier Número Natural a, porque dicho número n tendría que ser cero y cero no es un Número Natural (algunos autores consideran al cero como un Número Natural).
Existencia del inverso porque como no existe el Número Natural n no se puede verificar la propiedad que dice que para todo Número Natural a existe un único Número Natural x que satisfaga que a + x = x + a = n.
Para el conjunto de los Números Naturales con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todos los Números Naturales a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la resta de dos Números Naturales no siempre da otro Número Natural. Por ejemplo: 5 – 8 = -3 y -3 no es un Número Natural.
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta altera el resultado. Por ejemplo: 5 – 8 ≠ 8 – 5 porque -3 ≠ 3.
La propiedad asociativa (a – b) – c = a – (b – c) para todos los Números Naturales a, b y c tampoco se cumple. Por ejemplo: (9 – 6) – 1 ≠ 9 – (6 – 1) porque al realizar las operaciones se obtiene 2 ≠ 4.
No existe un único Número Natural n que cumpla que a – n = n – a = a para cualquier Número Natural a porque ni el cero cumple dicha propiedad porque la conmutativa para la diferencia de Números Naturales no se cumple.
Como no existe el Número Natural n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo Número Natural a existe un único Número Natural x que satisfaga que a – x = x – a = n.
Para el conjunto de los Números Naturales con la operación multiplicación, que se denota por x, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todos los Números Naturales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos Números Naturales da otro Número Natural.
La propiedad conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los Números Naturales a, b y c.
Existe el Número Natural 1 que cumple que a x 1 = 1 x a = a para cualquier Número Natural a.
No cumple:
La propiedad del inverso que dice que para todo Número Natural a existe un único Número Natural b que satisfaga que a b = b a = 1 no se cumple porque para 2, el número que cumple dicha propiedad es 
que no es Número Natural.
Para el conjunto de los Números Naturales con la operación división, que se denota por /, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todos los Números Naturales a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la división de dos Números Naturales no siempre da otro Número Natural. Por ejemplo: 5/8 = 0.625 que no es un Número Natural.
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la división altera el resultado. Por ejemplo: 8/4 ≠ 4/8 porque 2 ≠ 0.5.
La propiedad asociativa (a/b) / c = a / (b/c) para todos los Números Naturales a, b y c tampoco se cumple. Por ejemplo: (12/6) / 2 ≠ 12 / (6/2) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 1 ≠ 4.
No existe un único Número Natural n que cumpla que a/n = n/a = a para cualquier Número Natural a porque la conmutativa para la división de Números Naturales no se cumple.
Como no existe el Número Natural n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo Número Natural a existe un único Número Natural x que satisfaga que a/ x = x /a = n.
La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma en los Números Naturales es la única que se cumple. Las distributivas con otras operaciones no se cumplen y se puede comprobar que no se verifican construyendo un contraejemplo, que es un ejemplo que va en contra de lo enunciado.
Sea A, ahora, el conjunto de los Números Enteros. También se tomarán las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Para el conjunto de los Números Enteros con la operación suma, que se denota por +, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a + c = b + c para todos los Números Enteros a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la suma de dos Números Enteros da otro Número Entero.
La propiedad conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado.
La propiedad asociativa porque (a + b) + c = a + (b + c) para todos los Números Enteros a, b y c.
Existe un único Número Entero n que cumple que a + n = n + a = a para cualquier Número Entero a, n = 0.
La propiedad del inverso que dice que para todo Número Entero a existe un único Número Entero x que satisface que a + x = x + a = 0. El Número Entero x se llama opuesto de a y se denota por –a. Es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0
Para el conjunto de los números enteros con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todo los números enteros a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números enteros siempre da otro número entero. Además, la resta se define en términos de la suma, x - y = x + (-y), y la suma de números enteros es clausurativa.
No cumple:
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta de números enteros altera el resultado. Por ejemplo: 5 – (-8) ≠ (-8) – 5 porque 13 ≠ -13.
La propiedad asociativa (a – b) – c = a – (b – c) para todos los números enteros a, b y c tampoco se cumple. Por ejemplo:
((-9) – 6) – (-1) ≠ -9 – (6 – (-1)) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene -14 ≠ -16.
No existe el único número entero n que cumpla que a – n = n – a = a para cualquier número entero a porque la propiedad conmutativa para la diferencia de números enteros no se cumple.
Como no existe el número entero n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número entero a existe un único número entero x que satisfaga que a – x = x – a = n.
Para el conjunto de los números enteros con la operación multiplicación, que se denota por x, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todos los números enteros a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos números enteros da otro número entero.
La propiedad conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los números enteros a, b y c.
a
Existe el número entero 1 que cumple que a x 1 = 1 x a = a para cualquier número entero a.
No cumple:
La propiedad del inverso que dice que para todo número entero a diferente de cero existe un único número entero b que satisfaga que a x b = b x a = 1, no se cumple porque para -2 el número que cumple dicha propiedad es 
que no es entero.
Para el conjunto de los números enteros con la operación división, que se denota por /, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todo número entero a, b y c, con c diferente de cero.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la división de dos números entero no siempre da otro número entero. Por ejemplo: (-5)/(-8) = 0.625 que no es un número entero.
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la división altera el resultado. Por ejemplo: (-8)/4 ≠ 4/(-8) porque -2 ≠ -0.5.
La propiedad asociativa (a/b)/c = a/(b/c) para todos los números enteros a, b y c, con b y c diferentes de cero, tampoco se cumple. Por ejemplo: ((-12)/6) / 2 ≠ (-12) / (6/2) porque al realizar las operaciones se obtiene -1 ≠ -4.
No existe el único número entero n que cumpla que a/n = n / a = a para cualquier número entero a diferente de cero porque la conmutativa para la división de números enteros no se cumple.
Como no existe el número entero n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número entero a existe un único número entero x que satisfaga que a / x = x / a = n.
Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta de números enteros. Las distributivas que involucran otras operaciones no se cumplen y se puede comprobar que no se verifican construyendo un contraejemplo.
Sea A, ahora, el conjunto de los números racionales y también se tomarán las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Para el conjunto de los números racionales con la operación suma, que se denota por +, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a + c = b + c para todos los números racionales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la suma de dos números racionales da otro número racional.
La propiedad conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado.
La propiedad asociativa porque (a + b) + c = a + (b + c) para todos los números racionales a, b y c.
Existe un único número racional n que cumple que a + n = n + a = a para cualquier número racional a. Dicho número n es el cero.
La propiedad del inverso que dice que para todo número racional a existe un único número racional x que satisfaga que a + x = x + a = 0. El número racional x se llama opuesto de a y se denota por –a. Es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0
Para el conjunto de los números racionales con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todos los números racionales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números racionales siempre da otro número racional. Además, la resta se define en términos de la suma, x - y = x + (-y), y la suma de números racionales es clausurativa.
No cumple:
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta altera el resultado. Por ejemplo: 
porque 1 ≠ -1.
La propiedad asociativa (a – b) – c = a – (b – c) para todos los números racionales a, b y c tampoco se cumple. Porque no se cumple en los números naturales y este conjunto numérico está contenido en los racionales.
No existe el único número racional n que cumpla que a – n = n – a = a para cualquier número racional a porque dicha propiedad tampoco se cumple para los números naturales.
Como no existe el número racional n no se puede verificar la propiedad del inverso.
Para el conjunto de los números racionales con la operación multiplicación, que se denota por x, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todos los números racionales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos números racionales da otro número racional.
La propiedad conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los números racionales a, b y c.
Existe el número racional 1 que cumple que a x 1 = 1 x a = a para cualquier número racional a.
La propiedad del inverso que dice que para todo número racional a diferente de cero existe un único número racional b que satisface que a x b = b x a = 1. El número b se llama recíproco de a y se denota por 
. Es decir:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todos los números racionales a, b y c, con c diferente de cero.
No cumple:
Las propiedades clausurativa, conmutativa, asociativa, existencia del neutro y existencia de inversos por las mismas razones que no se cumplen en los naturales, ni en los enteros.
Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta de números racionales. Las distributivas que involucran otras operaciones no se cumplen y se puede comprobar que no se verifican construyendo un contraejemplo.
Sea A, ahora, el conjunto de los números irracionales y también se tomarán las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Para el conjunto de los números irracionales con la operación suma, que se denota por +, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a + c = b + c para todos los números irracionales a, b y c.
La propiedad conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado.
La propiedad asociativa porque (a + b) + c = a + (b + c) para todos los números irracionales a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la suma de dos números irracionales puede dar un número racional. Por ejemplo: 5.31311311131111... +4.02022022202222... = 9.3333333...
No existe el único número irracional n que cumpla que a + n = n + a = a para cualquier número irracional a porque dicho número n tendría que ser cero y cero es un número racional.
Como no existe el número irracional n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número irracional a existe un único número irracional x que satisfaga que a + x = x + a = n.
Para el conjunto de los números irracionales con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todos los números irracionales a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números irracionales no siempre da otro número irracional. Por ejemplo: π - π = 0 .
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta altera el resultado. Por ejemplo: √2 - 3√2 ≠ 3√2 -√2 porque -2√2 ≠ 2√2 .
La propiedad asociativa (a – b) – c = a – (b – c) para todos los números irracionales a, b y c tampoco se cumple. Por ejemplo: (√3 - e) - π ≠ √3 - (e - π) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene -4.12782367... ≠ 2.15536163... .
No existe el único número irracional n que cumpla que a – n = n – a = a para cualquier número irracional a porque no se cumple la propiedad conmutativa para la diferencia de números irracionales.
Como no existe el número irracional n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número irracional a existe un único número irracional x que satisfaga que a – x = x – a = n.
Para el conjunto de los números irracionales con la operación multiplicación, que se denota por x, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todos los números irracionales a, b y c.
La propiedad conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los números irracionales a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos números irracionales puede dar un número racional. Por ejemplo: √2 x √8 = 4.
No existe el número irracional n que cumpla que a x n = n x a = a para cualquier número irracional a, porque dicho número es el uno y no es irracional.:
La propiedad del inverso no se puede verificar porque no existe el neutro.
Para el conjunto de los números irracionales con la operación división, que se denota por /, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todo número irracional a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la división de dos números irracionales no siempre da otro número irracional. Por ejemplo: √8 / √2 = 2 y 2 no es un número irracional.
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la división altera el resultado. Por ejemplo: 2e/e ≠ e/2e porque 2 ≠ 0.5.
La propiedad asociativa (a/b) / c = a / (b/c) para todos los números irracionales a, b y c tampoco se cumple. Por ejemplo: (√8 / √2) / e ≠ √8 / (√2 / e) porque al realizar las operaciones indicadas se obtiene 0.735758882... ≠ 5.43653656... .
No existe el único número irracional n que cumpla que a/n = n/a = a para cualquier número irracional a porque la propiedad conmutativa para la división de números irracionales no se cumple.
Como no existe el número irracional n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número irracional a existe un único número irracional x que satisfaga que a/x = x/a = n.
Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta de números irracionales. Las distributivas que involucran otras operaciones no se cumplen y se puede comprobar que no, construyendo un contraejemplo.
Por último sea A el conjunto de los Números Reales, también se tomarán las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Para el conjunto de los Números Reales con la operación suma, que se denota por +, se cumple por axioma todas las propiedades. Es decir:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a + c = b + c para todos los Números Reales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la suma de dos números reales da otro número real.
La propiedad conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado.
La propiedad asociativa porque (a + b) + c = a + (b + c) para todos los números reales a, b y c.
Existe el único número real 0 que cumple que a + 0 = 0 + a = a para cualquier número real a.
La propiedad del inverso porque para todo número real a existe un único número real x que satisface que a + x = x + a = 0. Dicho número real x se llama opuesto de a y se denota por –a.
Para el conjunto de los números reales con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todos los números reales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números reales siempre da otro número real. Además porque la resta se define en términos de la suma y la suma de números reales cumple la propiedad clausurativa.
No cumple:
La propiedad conmutativa, asociativa, existencia del neutro y existencia del inverso porque no se cumple en los naturales, enteros, racionales e irracionales y todos estos conjuntos numéricos están contenidos en los números reales.
Para el conjunto de los números reales con la operación multiplicación, que se denota por x, se cumple por axioma todas las propiedades. Es decir:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todo número real a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos números reales da otro número real.
La propiedad conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los números reales a, b y c.
Existe el número real 1 que cumple que a x 1 = 1 x a = a para cualquier número real a.
La propiedad del inverso que dice que para todo número real a diferente de cero existe un único número real b que satisface que a x b = b x a = 1. Al número real b se le llama recíproco y se denota por .
Para el conjunto de los números reales con la operación división, que se denota por /, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todo número real a, b y c, con c diferente de cero.
La propiedad clausurativa porque la división de dos números reales, con el divisor diferente de cero, da siempre otro número real.
No cumple:
Las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de neutro y de inversos porque esta mismas propiedades no se cumple en naturales, enteros, racionales e irracionales y todos estos conjuntos numéricos están contenidos en los reales.
Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta de números reales. Las distributivas que involucran otras operaciones no se cumplen y se puede comprobar que no se verifican construyendo un contraejemplo.
Comprobaciones de algunas propiedades distributivas que no se cumplen:
Ejemplo
a + (b + c)= (a + b) + (a + c) se verifica únicamente cuando a = 0. En general se cumple que a + (b + c) ≠ (a + b) + (a + c), porque como la suma en todos los conjuntos numéricos es asociativa y conmutativa se tiene entonces que a + b + c 2a + b + c. Se concluye entonces que la suma no es distributiva con respecto a la suma.
Ejemplo
a + (b – c)= (a + b) – (a + c) se verifica únicamente cuando a = 0. En general se cumple que a + (b – c) ≠ (a + b) – (a + c), porque como la resta se define en términos de la suma, x - y = x + (-y), se tiene entonce que a + b + (-c) ≠ a + b + (-a) + (-c) que se reduce a tener a + b + (-c) ≠ b + (-c). Se concluye entonces que la suma no es distributiva con respecto a la resta.
Ejemplo
a + (b x c)= (a + b) ≠ (a + c) no se verifica en general, porque si a = 2, b = 3 y c = 4 se obtiene que 2 + (3 x 4) ≠ (2 + 3) x (2 + 4) lo cual da 14 ≠ 30. Se concluye entonces que la suma no es distributiva con respecto a la multiplicación.
Ejemplo
a + (b/c)= (a + b) / (a + c) no se verifica en general, porque si a = 4, b = 8 y c = 2 se obtiene que 4 + (8/2) ≠ (4 + 8) / (4 + 2) lo cual da 8 ≠ 2. Se concluye entonces que la suma no es distributiva con respecto a la división.