En esta temática se estudiará muy concienzudamente la expresión conocida como la enésima potencia de a.

Definición 1
Para n número natural y a número real se define la n- Potencia de a como el producto de a por si misma n- veces; es decir, . El número a se conoce como la base y n como el exponente.

Se iniciará el estudio de la expresión en el caso donde a represente cualquier número real, es decir, a ∈ R y n un número entero positivo ( ), para este primer caso, la definición no presenta ninguna dificultad.

Ejemplos 1


Otro Ejemplo: para el ejemplo . Para este caso, la base de la potencia es (-2) que difiere de donde la base es 2 y el signo menos es un factor de la potencia.

El comportamiento de los exponentes en las operaciones con potencias está gobernado por ciertas reglas sencillas, pero se debe estar muy atento al aplicarlas con el fin de no caer en errores que van en contra de la definición.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Al efectuar productos de potencias de igual base se obtiene como resultado una potencia de igual base y como exponente la suma de los exponentes de las potencias involucradas, es decir: .

Comprobación:


COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Al efectuar cocientes de potencias de igual base se obtiene como resultado una potencia de igual base y como exponente la resta de los exponentes de las potencias involucradas, es decir: .

Comprobación para m > n:


POTENCIA DE UNA POTENCIA.
Al elevar una potencia a una nueva potencia, se obtiene como resultado una potencia con la misma base, y como exponente el producto de los exponentes involucrados, es decir: .

Comprobación:


POTENCIA CUYA BASE ES UN PRODUCTO.
Cuando se tiene una potencia cuya base es un producto de dos o más factores, se puede distribuir el exponente en cada una de los factores, es decir: .

Comprobación:
Aplicando conmutativa y asociativa tantas veces como sea necesario.


POTENCIA CUYA BASE ES UN COCIENTE
Cuando se tiene una potencia cuya base es un cociente de dos o más factores, se puede distribuir el exponente en cada una de los factores, es decir: .

Comprobación:


Ejemplo 2
Utilizar las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones y después calcular su resultado.

Solución:

En este ejemplo también se puede iniciar utilizando primero la propiedad de potencia cuya base es un cociente y luego la regla de potencia de una potencia.

Hasta el momento en la definición de la n-esima Potencia de a , es decir, el conjunto donde toma valores a son los números reales y donde toma valores n son los enteros positivos o los números naturales.

Ahora para ciertos casos se restringirá y extenderá estos conjuntos con el fin de ampliar esta definición de manera que siga siendo consistente.


Definición 2
Si a ∈ R con a ≠ 0 y n un número entero positivo, entonces se tienen siempre las siguientes igualdades:

Recuerde que si n es un número entero negativo, entonces -n es un número entero positivo.

Ejemplo 3
Sea n = -2, entonces -n = -(-2) = 2 un número entero positivo.


Ejemplo 4
Utilicé las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones y después calcule sus resultados. Escriba su procedimiento.
.

Solución:


Ejemplo 5
Simplifique al máximo las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los exponentes y dé su respuesta sin exponentes negativos.

Solución:


Ejemplo 6
Utilizar las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones, y después calcular su resultado sin utilizar exponentes negativos.

Solución:


Ejemplo 7
Simplifique al máximo la siguientes expresión utilizando las propiedades de los exponentes y dé su respuesta sin exponentes negativos:

Solución 1:

Cuando aparecen expresiones complejas como la anterior se recomienda hacer algunas sustituciones con el fin de obtener una expresión mucho más sencilla y más cómoda de simplificar. Veamos:

Solución 2:

Se observa que los dos resultados finales del ejercicio son iguales.

Definición 3
Si n es cualquier positivo, se define como la raíz n-ésima de a . Es decir, significa

En esta definición se debe tener muy presente las siguientes dos condiciones:

a) Si n es un entero par, a necesariamente debe cumplir la condición de ser estrictamente mayor o igual que cero, para tener la seguridad que la expresión sea un número real. Es decir,


b) Si n es un entero impar a puede tomar cualquier valor en los números reales y la expresión siempre sigue siendo un número real. Es decir,


Ejemplo 8


Otro ejemplo:
, para este caso n = 3 entero positivo impar y -8 ≤ 0 , su resultado es -2 ≤ 0 , en este caso no hay ninguna restricción sobre los valores que puede tomar a, la expresión siempre representa un número real.

1. En esta igualdad cada expresión representa un número real, es decir se deben cumplir las condiciones adecuadas sobre n, a y b para que esto se cumpla.

2. Como en el caso anterior en esta igualdad cada expresión representa un número real, es decir se deben cumplir las condiciones adecuadas sobre n, a y b para que esto se cumpla.

3. En esta propiedad si n es par a tiene que ser estrictamente mayor o igual cero, si n es impar no hay restricciones sobre a, es decir a ∈ R.

4.

Siguiendo con el estudio de la expresión extenderemos esta definición de tal forma que el conjunto donde toma valores el exponente sea el conjunto de los números racionales ( Q ). Recordemos que si x ∈ Q entonces donde a ∈ Z, b ∈ Z y b ≠ 0.

Por tanto con x ∈ Q se puede escribir como , donde m ∈ Z, n ∈ Z y n ≠ 0. Se concluye entonces que .

Estudiaremos en adelante la expresión dando una definición para esta expresión y las condiciones necesarias para que siga perteneciendo al conjunto de los números reales.

Definición 4
Para Cualquier exponente racional simplificado al máximo donde m y m son enteros y n > 0, se definirá :

En los siguientes ejemplos se ilustrarán las propiedades anteriores.

Ejemplo 9
Halle el resultado de las siguientes expresiones y escriba su respuesta sin ningún exponente:


Solución:


Ejemplo 10
Escriba las siguientes expresiones como un solo radical, simplificando al máximo la expresión dentro del radical.


Solución:


Ejemplo 11
Escriba la siguiente expresión como un solo radical y simplifique al máximo la expresión:


Solución:


Ejemplo 12
Escriba la siguiente expresión como un solo radical y simplifique al máximo la expresión:


Solución:


Ejemplo 13
Calcular el resultado de la siguiente expresión:


Solución:


Ejemplo 14
Simplifique al máximo los siguientes radicales, además escriba el procedimiento utilizado:


Solución:
a) en este ejemplo todas las expresiones representan números reales, y las igualdades son correctas, pero se debe tener mucho cuidado en casos como el siguiente:
A pesar de que la expresión de la izquierda tiene sentido en los números reales las expresiones de la derecha no representan números reales.

b)

c)


Ejemplo 15: Simplifique las siguientes expresiones radicales:


Solución:
a)

b)

En este caso es muy importante el cuidado que hay que tener con el valor absoluto, puesto que no es explicito que la expresión ( x + 2 ) y la variable tomen valores positivos.

c)
En este ejemplo es bastante común distribuir el índice del radical en cada uno de los sumandos que están involucrados en el radical, es decir error en la regla 1 de los radicales, puesto que la regla es válida solo para factores, un procedimiento correcto es el siguiente :


Es muy importante recordar que tanto las leyes de los exponentes y por ende la de los radicales solo se cumple para productos de dos o más factores y no para sumandos situaciones que se presentan muy a menudo en la simplificación de ejercicios de este tipo.

Se redondeará el estudio de la expresión cuando x pertenezca a los números irracionales, es decir x ∈ I

Como por ejemplo . Recordemos que si x ∈ I, x es un número cuya cifras decimales son infinitas no periódicas como el número pi ( π ) el cual su valor es: π = 3.141592654... cifras decimales no periódicas y tampoco se puede escribir como una fracción entre enteros con denominador diferente de cero.

Las potencias con exponentes irracionales son mucho más complejas de definir a diferencia de las potencias con exponentes naturales, enteros, o racionales y no está al alcance del curso por lo tanto no se dará una definición técnica para potencias con exponentes irracionales pero si se dará una aproximación del significado cuando x ∈ I con el siguiente ejemplo.


Ejemplo 16
Dada la expresión dar un significado y un valor aproximado para la misma.

Solución:
Como se conoce √2 = 1.414213562... es número irracional, ahora se crea una sucesión de números racionales que en el infinito se acerquen a √2 como la siguiente:
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356,...
y por la definición 3 de potenciación tiene bastante sentido la expresión y así sucesivamente las expresiones siguen teniendo sentido en la definición de potencias con exponentes racionales y por lo tanto la sucesión de potencias racionales de se acercan cada vez más a un número definido que se llamará que es aproximadamente .


Ejemplo 17
Simplifique al máximo las siguientes expresiones:


Solución:

Para ciertos cálculos de simplificación en temáticas como límites y derivadas, que se conocerán en los próximos cursos de cálculo, las fracciones que tienen radicales tanto en el numerador como el denominador en algunos casos se presentan bastante complejas para el objetivo que se persigue en el momento. Para comodidad del propósito que se tenga es posible rescribir una fracción de manera que su numerador o denominador quede libre de expresiones que contenga radicales a este proceso se conocerá como racionalización. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 18
Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones:


Solución: