Definición 1
Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
Definición 2
El dominio de una variable en una expresión algebraica, es un subconjunto de números reales, que al reemplazarlos en la expresión, siempre se obtiene un número real.
Es conveniente dar el dominio de cada una de las variables contenidas en una expresión algebraica.
Ejemplos
Definición 3
Dos expresiones algebraicas son equivalentes cuando toman ambas el mismo valor numérico, para cualquier valor del dominio de cada una de las variables.
Ejemplo 1
Las expresiones 
y x + 1, x ≠ 1 son equivalentes, porque: 
si x = 3 y x + 1 = 3 + 1 = 4 si x = 3.
Se observa que ambas toman el mismo valor, y esto se cumplirá para todo x diferente de 1, por lo tanto las dos expresiones son equivalentes.
Ejemplo 2
Las expresiones 
son equivalentes, porque: 
si 
y 
si .
Se observa que ambas toman el mismo valor, y esto se cumplirá para todo x + y ≠ 0. Por lo tanto las dos expresiones son equivalentes.
Definición 4
Un término es una constante o un producto de variables o un producto entre variables y constantes o el producto entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplo 3
Son términos las siguientes expresiones: 
con x ≥ 0, 
con x ≥ 0.
Definición 5
Términos semejantes son términos que tienen su parte literal o variable, idéntica. Parte variable idéntica significa que aparecen las mismas variables elevadas respectivamente a iguales potencias, y estas ligadas con las mismas operaciones.
Ejemplos
Otros Ejemplos:
- Los términos 
, son términos semejantes porque todos tienen la misma expresión literal 
.
- Los términos 
son términos semejantes porque todos tienen la misma expresión literal 
.
Simplificar una expresión algebraica, consiste en escribirla como otra expresión algebraica equivalente, más simple.
Para obtener la forma más simple equivalente de una expresión algebraica, se toma cada uno de los términos y en lo posible escribirlos de tal manera que sean semejantes (sus partes literales iguales), para luego aplicarles las operaciones indicadas en la expresión algebraica original.
Al simplificar una expresión algebraica se deben tener en cuenta las reglas de los números como también las reglas de la potenciación y de la radicación.
Ejemplo 1
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica 
.
Solución:
Ejemplo 2
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica 
.
Solución:
La expresión obtenida, es la simplificación con un sólo término de
. La restricción b > 0 garantiza que la expresión √b es un número real y diferente de cero (porque √b es un denominador de la expresión original).Ejemplo 3
Simplifique a un sólo término la expresión algebraica 
con a ≥ b.
Solución:
La expresión 0.7b, es la simplificación con un sólo término de la expresión
con a ≥ b.Ejemplo 4
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica 
con x ≠ 0.
Solución:
La expresión algebraica
es la simplificación, con un sólo término, de la expresión . La restricción x ≠ 0, nos garantiza que el denominador no puede ser cero.
Ejemplo 1
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica a (-3b) -2ab.
Solución:
La expresión es la simplificación con un sólo término de la expresión a (-3b) -2ab, para todo valor de a y b.
Ejemplo 2
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica 
.
Solución:
La expresión
es la simplificación con un sólo término de la expresión dada. La restricción pq ≠ 0 es porque el denominador 
, no puede ser cero.Ejemplo 3
Simplifique a un sólo término la expresión algebraica 
con a ≥ 0, b ≠ 0 y c > 0.
Solución:
La expresión
es la simplificación con un sólo término de la expresión dada. ¿Porqué las restricciones dada para a, b y c?.Ejemplo 4
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica 
Solución:
La expresión es la simplificación con un sólo término de la expresión
. Las restricciones a > 0 y b > 0 garantizan que la expresión √ab es un número real y diferente de cero, porque aparece como un sólo término en el denominador.
Un polinomio de grado n en la variable x, es de la forma:
donde:
y 
se les llama coeficientes del polinomio y n es un número entero no negativo. El dominio de un polinomio son todos los números reales. Cada término de un polinomio en una variable es de la forma 
y tiene grado n.Cada término de un polinomio en dos variables, es de la forma
con n y m enteros no negativos y tiene grado n + m.Cada término de un polinomio en tres o más variables se define en forma similar.
Ejemplos
Las siguientes expresiones algebraicas, son polinomios:
Son polinomios en una variable con coeficientes reales. Se observa además que todos los exponentes son números enteros no negativos.
Las siguientes expresiones algebraicas NO son polinomios:
, NO es un polinomio, porque el exponente de la variable x no es un número natural.
, NO es polinomio, porque la variable x en uno de los términos tiene un exponente negativo.
, NO es polinomio, porque la variable x en uno de los términos tiene un exponente racional no entero.
, NO es un polinomio, porque la expresión 
(aunque es un polinomio) está afectada completamente por una raíz cuadrada.
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado de la(s) letra(s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre números, El valor obtenido, es el valor numérico de la expresión dada.
Ejemplo 1
Evalúe la expresión 
para x = -1.
Solución:
Luego el valor numérico de la expresión
para x = -1 , es 1.Ejemplo 2
Evalúe la expresión 
para x = -2.
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es -16.
Ejemplo 3
Evalúe la expresión (1 - √x)(1 + √x) para x = 2.
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es -1.
Ejemplo 4
Evalúe la expresión 
, para a = -2 .
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es 8.
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
Ejemplo
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
Solución:
Luego
= 
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas con uno o más términos usar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, las reglas de los exponentes como también los productos notables.
PRODUCTOS NOTABLES
Sean 
y 
expresiones algebraicas entonces:
PN1: 
PN2: 
PN3: 
Ejemplo 1
Efectúe la operación: 2x(3 - x).
Solución:
Luego
Ejemplo 2
Efectúe la siguiente operación 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 3
Efectúe la siguiente operación 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 4
Efectúe la siguiente operación 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 5
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 6
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 2(a - 2) - 5(1 - 4)
Solución:
Entonces 2(a - 2) - 5(1 - 4) = 7a - 9
Ejemplo 7
Efectúe la siguiente operación y simplifique 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 8
Efectúe la siguiente operación 
Solución:
Entonces:
El proceso para escribir expresiones algebraicas únicamente como un producto de otras expresiones algebraicas, se denomina factorización. Un número natural mayor que 1 es primo, si sus únicos factores enteros positivos son el 1 y el mismo.
Ejemplo
Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13,… son números primos porque cada uno de ellos tiene como únicos factores al 1 y a ellos mismos. Un número no primo se dice que está completamente factorizado, si está representado como un producto de factores primos. Una expresión algebraica está completamente factorizada si está representada equivalentemente por un producto de expresiones irreducibles. Toda expresión de la forma es irreducible (no es factorizable). Toda expresión de la forma ax ² + bx + c es irreducible si b ² - 4ac < 0.
PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Al expresar dos o más expresiones algebraica únicamente como un producto de expresiones algebraicas, se puede proceder de la siguiente manera:
1. Obtener los factores numéricos y literal que aparezcan en todos los términos de la expresión dada, si existen, lo que genera el conocido término llamado factor común.
2. Al sacar este factor común, si existe, la expresión original será equivalente al producto entre este factor común y otra expresión algebraica. Esta expresión no tendrá ningún factor común y por lo tanto debe descomponerse en otros factores, si es posible.
Al descomponer en factores o factorizar una expresión, se pueden considerar las siguientes formas:
Considere que A, B y C son números enteros, 
expresiones algebraicas:
F1 Diferencia de cuadrados: 
F2 Trinomio cuadrado perfecto: 
F3 Trinomio con coeficiente principal: a = 1
F4 Trinomio con coeficiente principal: a ≠ 1
F5 Suma y diferencia de cubos: 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Se dice que un polinomio es primo o irreducible con respecto a un conjunto dado de números si:
1. Tiene coeficientes en ese conjunto.
2. No se puede escribir como producto de dos polinomios con coeficientes de ese conjunto.
Ejemplo 1
El polinomio 2x - 1, es un polinomio primo en los enteros .
El polinomio x ² - 2, es un polinomio primo en los enteros y en los racionales, porque no se puede factorizar en estos conjuntos de números.
Pero x ² - 2 si es factorizable en los irracionales porque existen los factores primos (x - √2) , (x + √2) en los irracionales tales que: x ² = (x - √2)(x + √2)
Un polinomio no primo está completamente factorizado con respecto a un conjunto dado de números, si está representado únicamente como un producto de polinomios primos respecto a ese conjunto determinado.
Ejemplo 2
Factorice completamente el número 30.
Solución:
El número 30 no es primo porque acepta como divisores fuera del 1 y del mismo 30, los números primos 2, 3 y 5.
Luego: 30 = 2 * 3 * 5 .
Ejemplo 3
Factorice completamente 3x - √27.
Solución:
La factorización de 3x - √27 es 3(x - √3) .
Ejemplo 4
Factorice completamente el polinomio 
Solución:
Entonces:
Ejemplo 5
Factorice completamente la expresión 
Solución:
Entonces:
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE LA FORMA :
Si el coeficiente B = a + b y C = ab con a y b números enteros, entonces
La factorización de todo trinomio de la forma x ² + (a + b)x + ab es (x + a)(x + b) con a y b enteros.
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA :
si existen los números enteros A, B, C y D, tales que: AC = a, AD + BC = b y BD = c.
Si AC = a y BD = c se cumple AD + BC = c, entonces se puede asegurar que la factorización de ax ² + bx + c con a ≠ 1, es (Ax + B)(Bx + D)
Ejemplo 1
Factorice el trinomio x ² - 4x + 3 en los números enteros.
Solución:
La factorización de x ² - 4x + 3 es (x - 1)(x - 3)
Ejemplo 2
Factorice completamente la expresión 
.
Solución:
La factorización de
es 
Ejemplo 3
Factorice completamente el polinomio 18x ² - 9x - 2 en los números enteros.
Solución:
Entonces la factorización de 18x ² - 9x - 2 , es (6x + 1)(3x - 2).
Ejemplo 4
Factorice completamente la siguiente expresión (2 + x ²) ² - 5(2 + x ²) - 6 en los números enteros.
Solución:
Entonces la factorización de (2 + x ²) ² - 5(2 + x ²) - 6 , es (x - 2)(x + 2)(x ² + 3).
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Ejemplo
Factorice con tres factores (2x ² + 3x + 1) ² - 4(x ² + 1) ² en los números enteros.
Solución:
La factorización de la expresión dada (2x ² + 3x + 1) ² - (x ² + 1) ² con tres factores es x(x + 3)(3x ² + 3x + 2) y es completa porque el polinomio (3x ² + 3x + 2) es irreducible.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Todo trinomio de la forma ax ² ± bx + c es un trinomio cuadrado perfecto si es equivalente con (Ax ± B) ², donde A ² = a, B ² = c y 2AB ² = b o equivalente a A = √a, B = √c y 2√a√c = b
.
Es decir, si 2√a√c = b, entonces ax ² ± bx + c es un trinomio cuadrado perfecto.
¿El polinomio 9 - 12x + 4x ² es un trinomio cuadrado perfecto?
Solución:
FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Ejemplo: Factorice la siguiente expresión algebraica 
.
Solución:
La factorización de
es 
FACTORIZACIÓN DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Ejemplo
Factorice la siguiente expresión
(x - y) ² (a - 2b) + (x + y) ² (a - 2b) - 2(x - y) ² (a - 2b)
Solución:
Entonces la factorización de la expresión original:
(a - 2b)[(x - y) ² + (x + y) ² - 2(x - y) ²] = -4xy(a - 2b)
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES NO POLINOMICAS
Ejemplo: Factorice con tres factores la siguiente expresión 
con x > 1.
Solución:
La factorización de
es 
FACTORIZACIÓN CON TRES FACTORES DE EXPRESIONES NO POLINOMICAS
Ejemplo: Factorice completamente la siguiente expresión 
Solución:
La factorización de
es 