Definición 1
Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. El dominio de una expresión fraccionaria es el conjunto formado por todos los valores de la variable o variables que hacen que la expresión fraccionaria sea un número real.


Ejemplo 1
Determine el dominio de cada expresión fraccionarias.
a)
b)

Solución:
a) Para que el numerador   √x + 2   sea un número real se necesita que   x ≥ 0   por que aparece la expresión   √x  , y como el denominador  x - 5 debe ser diferente de cero se requiere que   x ≠ 5.
Por lo tanto el dominio de es el conjunto
D = .

b) El numerador representa un número real para cualquier valor real de x, como el denominador   x ² - 4 = (x + 2)(x - 2)   debe ser diferente de cero entonces   x ≠ 2,   x ≠ -2.
Por lo tanto, el dominio de es el conjunto .

Un caso particular de expresión fraccionaria es una expresión racional que es el cociente de dos polinomios.


Ejemplo 2
Determine el dominio de las expresiones racionales.
a)
b)

Solución:
a) El numerador  x + 2   representa un número real para cualquier valor real de x, como el denominador  x + 1   debe ser distinto de cero entonces   x ≠ 1.
Por lo tanto el dominio de es el conjunto .

b) El numerador   6x - 10   representa un número real para cualquier valor real de x, como el denominador  x ² + 1   es siempre mayor o igual que 1 para cualquier valor real x, entonces el dominio de es el conjunto de los reales.


Definición 2
El Mínimo común múltiplo (mcm) de las expresiones algebraicas es la expresión algebraica más pequeña que es múltiplo de las expresiones .

Para determinar el mcm de varias expresiones algebraicas, se factoriza cada expresión como el producto de factores primos y luego se forma el producto de los factores primos iguales y distintos de las expresiones, empleando el exponente más grande que aparezca en cada factor.


Ejemplo 3
Determine el mínimo común múltiplo de 3, 4 y 18.

Solución: Primero se factoriza


El mcm de 3, 4, y 18 es 2² * 3² = 36, es decir, que 36 es el número más pequeño que es múltiplo de 3, 4 y 18.


Ejemplo 4
Determine el mínimo común múltiplo de x + 3  y  x ² - 9.

Solución: Primero se factoriza


El mcm de x + 3  y  x ² - 9 es (x + 3)(x - 3) = x ² - 9, es decir, que x ² - 9 es la expresión más pequeña que es múltiplo de x + 3  y  x ² - 9.


Ejemplo 5
Determine el mínimo común múltiplo de .

Solución: La factorización de las expresiones es:


El mcm de es , es decir, que es la expresión más pequeña que es múltiplo de


Ejemplo 6
Determine el mínimo común múltiplo de .

Solución: La factorización de las expresiones es:


El mcm de es x ² (x + 2) ², es decir, que x ² (x - 2)(x + 2) ² es la expresión más pequeña que es múltiplo de


Definición 3
El Mínimo común denominador (mcd) de varias expresiones fraccionarias es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de las expresiones fraccionarias.


Ejemplo 7
Determine el mínimo común denominador de .

Solución:
Los denominadores son 3, 4 y 18.
El mínimo común múltiplo de 3, 4 y 18 es 36 (ver Ejemplo 3).
Por lo tanto, el mcd de , es 36.


Ejemplo 8
Determine el mínimo común denominador de .

Solución: Los denominadores son x + 3 y x ² - 9.
El mínimo común múltiplo de x + 3  y  x ² - 9  es  x ² - 9. (ver Ejemplo 4).
Por lo tanto, el mcd de , es x ² - 9.


Ejemplo 9
Determine el mínimo común denominador de .

Solución: Los denominadores son .
El mínimo común múltiplo de es . (ver Ejemplo 5).
Por lo tanto, el mcd de , es .


Ejemplo 10
Determine el mínimo común denominador de .

Solución: Los denominadores son .
El mínimo común múltiplo de es x ² (x - 2)(x + 2) ². (ver Ejemplo 6).
Por lo tanto, el mcd de , es x ² (x - 2)(x + 2) ².

REGLA 1. EL OPUESTO DE UNA EXPRESIÓN FRACCIONARIA.

Si A y B son expresiones algebraicas,
Es decir el signo – de una expresión fraccionaria se puede colocar en el numerador o en el denominador.



Ejemplo 11


REGLA 2. EQUIVALENCIA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS.

Si A, B  y  C son expresiones algebraicas, , con B ≠ 0 y C ≠ 0.

Ejemplo 12
Simplificar .

Solución:


Ejemplo 13
Simplificar .

Solución: El dominio de la expresión fraccionaria es el conjunto


Por lo tanto,


Ejemplo 14
Halle una fracción equivalente a la fracción de tal manera que su denominador sea 2(x - 1)(x + 5).

Solución: En este caso por equivalencia de expresiones fraccionarias se multiplica el numerador y el denominador por 2(x - 1) así:

REGLA 3. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS.

Si A, B, C  y  D son expresiones algebraicas, con B ≠ 0 y D ≠ 0.

Ejemplo 15
Calcule .

Solución:


Ejemplo 16
Calcule .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, con x ≠ 1  y  x ≠ 0.>


REGLA 4. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS CON IGUAL DENOMINADOR.

Si A, B, C  y  D son expresiones algebraicas, y con B ≠ 0.

Ejemplo 17
Calcule .

Solución:


Ejemplo 18
Calcule .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, .


REGLA 5. DIVISIÓN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS.

Si A, B, C  y  D son expresiones algebraicas, con B ≠ 0, D ≠ 0 y C ≠ 0.
Otra notación es .

Ejemplo 19
Calcule .

Solución:


Ejemplo 20
Calcule .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, con x ≠ 0, x ≠ -1  y  x ≠ 1/2.


REGLA 6. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES DISTINTOS.

Si A, B, C  y  D son expresiones algebraicas entonces,
con B ≠ 0  y  D ≠ 0.
con B ≠ 0  y  D ≠ 0.

Ejemplo 21
Calcule .

Solución:


Ejemplo 22
Calcule .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, con x ≠ 2, x ≠ -2  y  x ≠ 0.

Otro método para resolver el Ejemplo 22 es usando el mínimo común denominador mcd de las dos expresiones fraccionarias, y consiste en sustituir las expresiones fraccionarias, por expresiones fraccionarias equivalentes cuyo denominador es el mcd de las expresiones fraccionarias y así todas las expresiones fraccionarias tienen el mismo denominador.

Factorización de los denominadores

El mínimo común denominador de las expresiones fraccionarias es (x - 2)(x + 2)x. Ahora:



Por lo tanto, con x ≠ 2, x ≠ -2  y  x ≠ 0.


Ejemplo 23
Simplifique la expresión racional y determine el dominio de la variable.

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, con x ≠ 0  y  x ≠ 3.


Ejemplo 24
Simplifique la expresión racional y determine el dominio de la variable.

Solución: El dominio de la variable es el conjunto


Por lo tanto, con x ≠ 0  y  x ≠ 1.


Ejemplo 25
Efectúe las operaciones indicadas, dé la respuesta lo más simplificada posible y determine el dominio de la variable en la siguiente expresión .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto

Para efectuar las operaciones indicadas, primero se halla el mínimo común denominador de las expresiones fraccionarias

Factorización

El mínimo común denominador de las expresiones fraccionarias es .

Ahora se escriben todas las expresiones fraccionarias con el mismo denominador (el mcd) y se efectúan las operaciones indicadas.


Por lo tanto, .


Ejemplo 26
Efectúe las operaciones indicadas, dé la respuesta lo más simplificada posible y determine el dominio de la variable en la siguiente expresión .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto

Primero se halla el mínimo común denominador de las expresiones fraccionarias



El mínimo común denominador de las expresiones fraccionarias es: (x - 1)(x + 1)(2x - 1).

Ahora se escriben todas las expresiones fraccionarias con el mismo denominador (el mcd) y se efectúan las operaciones indicadas.

Por lo tanto, con x ≠ -1, x ≠ 1  y  x ≠ 1/2.


Ejemplo 27
Efectúe las operaciones indicadas, dé la respuesta lo más simplificada posible y determine el dominio de la variable en la siguiente expresión .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto, con x ≠ -1, x ≠ 1  y  x ≠ 1/2.


Ejemplo 28
Efectúe las operaciones indicadas, dé la respuesta lo más simplificada posible y determine el dominio de la variable en la siguiente expresión .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto, con x ≠ 2  y  x ≠ -5.


Ejemplo 29
Efectúe las operaciones indicadas, dé la respuesta lo más simplificada posible y determine el dominio de la variable en la siguiente expresión .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto, con x ≠ 1, x ≠ -2, x ≠ -4, x ≠ 0  y  x ≠ -1/2.


Ejemplo 30
Simplifique la expresión fraccionaria y determine el dominio de la variable.

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto,


Ejemplo 31
Simplifique la expresión fraccionaria y determine el dominio de la variable.

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto,


Ejemplo 32
Simplifique la expresión fraccionaria y determine el dominio de la variable.

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto,


Ejemplo 33
Racionalice el numerador en la expresión fraccionaria y simplifique cuando sea posible.

Solución:



Por lo tanto,


Ejemplo 34
Racionalice el denominador en la expresión fraccionaria .

Solución:



Por lo tanto, , x > 0, y > 0  y  z > 0


Ejemplo 35
Racionalice el denominador en la expresión fraccionaria con x ≠ -8.

Solución:



Por lo tanto, , x > ≠ -8


Ejemplo 36
Efectúe la división y determine el dominio de la variable .

Solución: El dominio de la variable es el conjunto



Por lo tanto, . x ≠ 0, x ≠ 4  y  x ≠ -4