Definición: Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplo 1
Las siguientes son ecuaciones de una, dos o tres variables respectivamente:
Definición
Una solución de una ecuación es todo aquel valor que al sustituirlo por la incógnita o variable, hace que la igualdad se satisfaga. El conjunto solución está constituido por todas esas soluciones.
Ejemplo 3
Determine si el valor 2 es solución de la ecuación x ² + 3x -6 = 4
Solución
El valor 2 es solución de la ecuación x ² + 3x -6 = 4, porque al reemplazar la variable x por el valor 2 la igualdad se satisface: (2) ² + 3(2) - 6 = 4, y 4 = 4 .
Ejemplo 4
Determine si el conjunto S = {2, 3} es solución de la ecuación 
Solución
El conjunto S = {2, 3} es solución de la ecuación , ya que al reemplazar cada valor del conjunto en la ecuación, la igualdad se satisface:
Si se reemplaza la variable x por 2, la ecuación 
se satisface y
Si se reemplaza la variable x por 3, la ecuación 
también se satisface.
Ejemplo 5
Determine si el conjunto S = {2, 3} es solución de la ecuación 
Solución:
El conjunto S = {2, 3} no es solución de la ecuación , pues aunque el valor 2 sea solución de la ecuación: 
, el valor 3 no lo es: 
. Se dice que el conjunto S = {2, 3} no es solución de la ecuación, pues debe cumplirse que ambos valores sean solución.
Definición
Una ecuación lineal en una variable es aquella igualdad entre dos expresiones donde el máximo exponente de la variable es uno.
Ejemplo 6
Las siguientes igualdades son ejemplos de ecuaciones lineales:
El objetivo es encontrar el valor de la variable que hace que la igualdad se satisfaga usando para ello la propiedad uniforme de la suma y de la multiplicación.
Propiedad uniforme de la suma
A una igualdad se le puede sumar a ambos lados una misma expresión que represente un número real sin que ésta se altere.
Simbólicamente:
Propiedad uniforme de la multiplicación
A una igualdad se le puede multiplicar a ambos lados una misma cantidad sin que ésta se altere.
Simbólicamente:
Ejemplo 7
Resolver la ecuación 
Solución 1
Solución 2
Solución 3
Nota: Estos procesos son conocidos como transposición de términos.
Una ecuación cuadrática es toda aquella que se puede escribir de la forma ax ² + bx + c = 0, con a ≠ 0, a, b, c ∈ R.
Ejemplo 8
Determine los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática 2x ² + x - 1 = 0
Solución
Los valores de a, b y c en la ecuación 2x ² + x - 1 = 0 son a = 2, b = 1 y c = -1.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN
El principio básico en que se basa la resolución de una ecuación cuadrática es: Si a * b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 .
Si la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 se puede factorizar como (ax + d)(x + e) = 0, se aplica el principio básico anterior para encontrar la(s) solución(es) de la ecuación.
Ejemplo 9
Determine los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática 2x ² + 3x - 2 = 0
Solución
Dado que la ecuación cuadrática 2x ² + 3x - 2 = 0, se puede factorizar como (2x - 1)(x + 2), se puede concluir, después de utilizar el principio básico, que 2x - 1 = 0 ó x + 2 = 0, es decir 
. Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación 2x ² + 3x - 2 = 0 es 
.
FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Teorema
Las soluciones de la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 , con a ≠ 0 se pueden hallar aplicando la fórmula 
Demostración
Se utiliza el método de completación del cuadrado para la comprobación de este resultado a la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 , así:
Observe que para que esta expresión tenga sentido el valor del discriminante D = b ² - 4ac debe ser mayor o igual a cero.
Discriminante: Definición
Dada una ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0, al valor de la expresión D = b ² - 4ac, se le llama discriminante y a partir de su valor se puede determinar si la ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real.
El número de soluciones depende del valor de D: Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones; si D = 0, La ecuación tiene una única solución y si D < 0, la ecuación no tiene solución.
Ejemplo 10
Determine cuantas soluciones tiene la ecuación 2x ² + x - 1 = 0
Solución
La ecuación 2x ² + x - 1 = 0, tiene dos soluciones reales pues el valor del discriminante 2x ² + x - 1 = 0 tiene dos soluciones reales pues el valor del discriminante b ² - 4ac = 1 + 8 > 0
Ejemplo 11
Resolver la ecuación cuadrática 2x ² - 3x - 1 = 0
Solución
En la ecuación cuadrática 2x ² - 3x - 1 = 0, los valores de a = 2, b = -3 y c = -1. Al reemplazarlos en la ecuación general , se obtiene: 
.
Por lo tanto, la ecuación cuadrática 2x ² - 3x - 1 = 0 tiene conjunto solución 
Ejemplo 12
Resolver la ecuación cuadrática x ² + 2x + 2 = 0
Solución
Como la ecuación cuadrática x ² + 2x + 2 = 0, no tiene una factorización evidente, se debe recurrir al uso de la fórmula general, donde a = 1, b = 2 y c = 2. Es decir 
, pero como el discriminante D = -4 es negativo, se concluye que la ecuación cuadrática no tiene solución real.
Ejemplo 13
Resolver la ecuación 
Solución
En ecuaciones como , se recomienda hacer el cambio de variable x ² = y para ver la ecuación en la forma cuadrática y ² - 5y + 6 = 0, la cual tiene como solución y = 3 ó y = 2. Pero se debe despejar la variable x, es decir x ² = 3 ó x ² = 2 , lo cual permite concluir que el conjunto solución de la ecuación 
Definición
Una ecuación con valor absoluto es aquella donde aparece las barras de valor absoluto y que puede estar igualadas a cero, a un valor positivo ó a alguna expresión.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON UN VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto |x| se define como 
, es decir cuando una expresión con valor absoluto está igualada a un valor determinado y positivo b, es porque la expresión que está dentro de las barras es igual a b o al opuesto de b. Simbólicamente si |E(x)| = b, es porque E(x) = b ó E(x) = -b, se resuelve cada una por separado y se unen las soluciones.
Ejemplo 14
Resolver la ecuación |2x + 10| = 2.
Solución
Para hallar la (s) solución (es) de la ecuación |2x + 10| = 2, se quitan las barras igualando la expresión 2x + 10 a 2 ó a -2, así: 2x + 10 = 2 ó 2x + 10 = -2 obteniendo x = -4 ó x = -6. Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación |2x + 10| = 2 es S = {-4, -6}.
Ejemplo 15
Resolver la ecuación |2x + 10| = -2.
Solución
No es posible resolver la ecuación |2x + 10| = -2, pues nunca el resultado de un valor absoluto es negativo. Es decir el conjunto solución es S = ∅
Nota: Se debe tener en cuenta que √x² = |x|
Ejemplo 16
Resolver la ecuación 
Solución
Para resolver la ecuación se aplica la igualdad √x² = |x| y se resuelve normalmente: 
, es decir 2 - 3x = 4 ó 2 - 3x = -4 lo que permite concluir que el conjunto 
es la solución de la ecuación.
Definición
Una ecuación polinómica de grado n es aquella expresión que se puede escribir de la forma 
, donde cada 
Ejemplo 17
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones polinómicas:
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN POLINÓMICA
A este nivel se resolverán aquellas ecuaciones que se puedan expresar como producto de factores irreducibles. Es decir sólo aquellos polinomios p(x) que se puedan factorizar como 
, donde cada 
sea un polinomio lineal o cuadrático no factorizable. Una vez factorizado el polinomio se iguala cada uno de los factores a cero y se resuelve por separado permitiendo obtener un conjunto de soluciones del polinomio inicial.
Ejemplo 18
Resolver la ecuación polinómica 
Solución
Para resolver la ecuación , se factoriza como x(x ² + 5x + 6) = 0 , y factorizando el paréntesis x(x + 3)(x + 2) = 0, igualando cada factor a cero, se obtiene el conjunto S = {-3, -2, 0} como solución de la ecuación dada.
Ejemplo 19
Resolver la ecuación polinómica 
Solución
De donde se concluye luego de aplicar el principio básico que el conjunto S = {-2, -1, 1} es solución de la ecuación inicial.
Ejemplo 20
Resolver la ecuación polinómica (x - 1)(x ² + x + 1 = 0)
Solución
Si al factorizar una ecuación polinómica, se obtiene (x - 1)(x ² + x + 1 = 0) y el factor cuadrático no se puede factorizar fácilmente, se aplica la fórmula general para resolver la cuadrática, obteniendo 
, la cual no tiene solución en los reales. Por lo tanto la solución es S = {1}.
Definición
Una ecuación racional se identifica por tener la forma 
, donde P(x) y Q(x) son expresiones polinómicas y Q(x) ≠ 0
Ejemplo 21
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones racionales:
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN RACIONAL
Para resolver una ecuación racional se debe llevar primero a la forma estándar y luego se resuelve sólo P(x) = 0, teniendo en cuenta excluir los valores de x de la solución que hacen Q(x) = 0
Ejemplo 22
Resolver la ecuación racional 
Solución
Para resolver , es necesario solo resolver x - 1 = 0, es decir que el conjunto solución de la ecuación porque x ² + 1 no tiene solución en los reales, por tanto S = {1}.
Ejemplo 23
Resolver la ecuación racional 
Solución
Para resolver , debe llevarse primero a la forma estándar realizando las operaciones respectivas: 
y finalmente se iguala el numerador a cero t ² + 3t + 1 = 0, lo cual arroja como resultado 
y por tanto el conjunto solución de la ecuación t ² + 3t + 1 = 0 es 
.
Ejemplo 24
Resolver la ecuación racional 
Solución
Al resolver , se encuentra:
La respuesta debe ser rechazada por anular el denominador. Por tanto el conjunto solución de la ecuación
es S = ø
Ejemplo 25
Resolver la ecuación racional 
Solución
Otra forma de escribir una ecuación racional se presenta cuando los exponentes de las expresiones algebraicas son negativos: , la cual se puede escribir como 
, que simplificada quedaría como 
.
Y finalmente 
, la cual lleva a resolver la ecuación 2x ² + x - 2 = 0, la cual tiene conjunto solución 
Definición
Una ecuación con radicales es aquella donde aparece algún radical. Pueden aparecer ecuaciones con radicales, los cuales pueden eliminarse utilizando para ello la propiedad: 
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON RADICALES CUADRADOS
En ecuaciones donde aparezca un radical cuadrado, se debe eliminar utilizando para ello el hecho que , es decir se despeja la expresión que se encuentra dentro del radical elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Ejemplo 26
Resolver la ecuación 
Solución
Para resolver la ecuación se eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación: 
, obteniendo x - 1 = 4 ó x = 5 . Es decir que el conjunto solución de la ecuación es S = {5}.
Ejemplo 27
Resolver la ecuación 
Solución
Cuando la ecuación es de la forma , es necesario dejar sólo el radical en uno de los miembros de la ecuación así: 
, para luego eliminar el radical: 
, lo cual lleva a resolver x ² + x - 1 = x ² + 2x + 1 ó equivalentemente x = -2, solución de la ecuación, pero esta no sirve pues no satisface la ecuación inicial, pues 
.
Ejemplo 28
Resolver la ecuación 
Solución
En caso que se encuentre un doble radical se debe emplear la misma técnica en dos ocasiones así: , elevamos ambos lados al cuadrado 
, dejando el radical sólo se obtiene 
ó equivalentemente 
, que al simplificar se obtiene 
, de donde 2x ² (2x + 1) = 0, permite obtener que 
, ambas soluciones satisfacen la ecuación por tanto el conjunto solución es 
.
.
Ejemplo 29
Resolver la ecuación 
Solución
Los radicales también se pueden escribir con exponentes racionales, pues 
, siempre y cuando 
exista.
Por lo tanto para resolver la ecuación 
, se puede escribir como: 
Pero se debe eliminar el valor x = 5, por no satisfacer la ecuación inicial, quedando como conjunto solución S = {0}