En el capítulo de números reales, en comparación de números, se pudo apreciar que este conjunto tiene una propiedad de orden; esta propiedad se acostumbra designarla con el símbolo > o <.
Antes de iniciar con el estudio de las desigualdades, se recordará la definición de los signos: mayor que >, mayor o igual que ≥, menor que < y menor o igual que ≤ y una de las propiedades de orden.
Definición de la relación “mayor que”
Si a, b ∈ R, a > b si y sólo si a - b = p, donde p es un número real positivo.
Definición de la relación “mayor o igual que”
Si a, b ∈ R, a ≥ b si una de las dos relaciones se cumple: a > b ó a = b .
Definición de la relación “menor que”
Si a, b ∈ R, a < b si y sólo si b - a = p, donde p es un número positivo.
Definición de la relación “menor o igual que”
Si a, b ∈ R, a ≤ b si una de las dos relaciones se cumple: a < b ó a = b .
Ley de tricotomía de los números reales
Si a, b ∈ R, una y solamente una de las siguientes relaciones es válida: a > b, a < b ó a = b .
Definición de Desigualdad
Una expresión de la forma: a > b, a ≥ b, a < b ó a ≤ b ; donde a, b ∈ R, se llama DESIGUALDAD O INECUACIÓN.
Definición
Una solución de una ecuación es todo aquel valor que al sustituirlo por la incógnita o variable, hace que la igualdad se satisfaga. El conjunto solución está constituido por todas esas soluciones.
TEOREMA 1
La propiedad transitiva de las Desigualdades: a, b, c ∈ R, a > b y b > c ⇒ a > c.
Demostración: Para demostrar este teorema, hay que suponer que a > b y b > c .
De donde:
Ahora:
Por lo tanto:
TEOREMA 2
a, b, c ∈ R, a > b ⇒ a + c > b + c
Demostración: Para demostrar este teorema, hay que suponer que a > b y c ∈ R.
De donde:
Ahora:
TEOREMA 3
a, b, c ∈ R, a > b y c > 0 ⇒ ac > bc
Demostración: Para demostrar este teorema, hay que suponer que a > b y c ∈ R.
De donde:
Ahora:
TEOREMA 4
a, b, c ∈ R, a > b y c > 0 ⇒ ac < bc
Demostración: Para demostrar este teorema, hay que suponer que a > b y c < 0.
De donde:
Ahora:
TEOREMA 5
a, b, c, d ∈ R, a > b > 0 y c > d > 0 ⇒ ac > bc
Demostración: Para demostrar este teorema, hay que suponer que a > b > 0 y c > d > 0.
De donde, la expresión: a > b > 0 implica que: 
Ahora la expresión: c > d > 0 implica que:
Ahora:
TEOREMA 6
Si a > b > 0 y p∈ Nentonces 
, donde a, b, c ∈ R
TEOREMA 7
Si a > b > 0 y p∈ Qentonces , donde a, b, c ∈ R
Definición
Dada una desigualdad que involucra expresiones algebraicas de una o más variables, El conjunto de valores, pertenecientes al dominio de las variables, para los cuales es cierta la desigualdad dada, se llama conjunto solución de la desigualdad.
Con esta definición, se enfrenta una pregunta similar a la que se planteó para ecuaciones, esto es, qué operaciones o procesos pueden efectuarse con una desigualdad para llegar al conjunto solución. Las ideas pertinentes se basan en las propiedades de las desigualdades enunciadas anteriormente.
Aunque se pueden plantear desigualdades con una o más variables, en esta parte, sólo se tratarán desigualdades en una variable.
TEOREMA 8
El conjunto de soluciones de una desigualdad f(x) > g(x), donde f(x) y g(x) representan expresiones algebraicas, no se altera sumando una expresión algebraica a ambos miembros, esto es. El conjunto de soluciones de f(x) > g(x) es igual al conjunto de soluciones de f(x) + P(x) > g(x) + P(x). Siempre y cuando el dominio de la variable no cambie.
TEOREMA 9
El conjunto de soluciones de una desigualdad f(x) > g(x), donde f(x) y g(x) representan expresiones algebraicas, no se altera multiplicando a ambos miembros por una expresión algebraica P(x) que represente un número positivo para toda x ∈ R, esto es. Si P(x) > 0, para toda x ∈ R entonces; el conjunto de soluciones de f(x) > g(x) es igual al conjunto de soluciones de:
f(x) P(x) > g(x) P(x). Siempre y cuando el dominio de la variable no cambie.
Para hallar el conjunto solución de una desigualdad dada, se aplican los teoremas precedentes para obtener desigualdades donde se pueda visualizar el conjunto solución. Esto se ilustra en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1
Resuelva la siguiente desigualdad y exprese el conjunto solución en forma de conjunto, intervalo y en la recta numérica.
Este enunciado es equivalente a decir: Halle el conjunto solución de la desigualdad: 
y represéntelo en forma de conjunto, intervalo y en la recta numérica.
Solución
Antes de hallar el conjunto solución, es importante determinar el dominio de la variable; en este caso, el dominio de la variable es todo el conjunto de los números reales porque para cualquier valor real que se le asigne a x, la expresión siempre representará un número real.
Por lo tanto el conjunto de las soluciones de la desigualdad es:
En forma de Conjunto: S = {x ∈ R / x ≤ 4}
En forma de Intervalo: S = (-∞, 4]
En la Recta numérica:
Ejemplo 2
Hallar el conjunto solución de la desigualdad 
y expresarlo en forma de Intervalo y en la Recta Numérica.
Solución 1
Cuando una desigualdad es de la forma: p(x) < q(x) < r(x), donde p(x), q(x) y r(x) son expresiones algebraicas en términos de la variable x; el primer paso recomendado para hallar el conjunto solución de la desigualdad, es separar la desigualdad en dos desigualdades por medio del conectivo y; es decir, p(x) < q(x) y q(x) < r(x), lo que implica que: primero debe hallarse el conjunto solución de cada una de las desigualdades y posteriormente realizar la intersección de los conjuntos solución hallados; el conjunto obtenido de esta intersección, es el conjunto solución de la desigualdad inicial.
Es decir, la desigualdad: , se debe separar en las desigualdades siguientes: 
y 
. Primero se hallará el conjunto solución de: que se llamará 
y luego el de que se llamará 
. Para obtener el conjunto de las solución, que se llamará S, se realizará la intersección de con ; es decir, 
.
1. Procedimiento para la desigualdad .
Antes de empezar a realizar el procedimiento, se debe hallar el dominio de la variable; en este caso, es: R - {1}, que significa que el 1 no puede hacer parte del conjunto solución.
es positivo; para 0 ≤ x < 1, x es negativa y 1 - x es positiva; luego es negativa y, para x < 0, tanto –x como 1 - x son positivas, luego es positiva. Que se puede observar en el siguiente gráfico:
Así el conjunto solución de la primera desigualdad es:
, como se afirmó anteriormente, el 1, no puede hacer parte de la solución, porque no se encuentra en el dominio de la variable.
2. Procedimiento para la desigualdad:
Antes de empezar a realizar el procedimiento, se debe hallar el dominio de la variable; en este caso, es: R - {1}, que significa que el 1 no puede hacer parte del conjunto solución.
Se determina, para cada expresión, los valores donde se hace cero, se hace positiva o se hace negativa y se realiza la operación teniendo en cuenta los intervalos donde la expresión en su totalidad es negativa. Es decir:
De donde el conjunto solución de la segunda desigualdad es:
.
3. Conjunto solución de la desigualdad.
El conjunto solución de la desigualdad , se obtiene haciendo la intersección de los conjuntos solución y ; es decir, graficando en una misma recta numérica ambos conjuntos solución, donde, se puede apreciar que el conjunto de soluciones comunes se encuentra entre 0 y ½, incluyendo el cero y no el 
; por lo tanto, el conjunto solución de la Desigualdad es el intervalo: 
Solución 2
Se considerará otro proceso de solución para la desigualdad: .
El dominio de la variable es: R - {1}
Para la segunda desigualdad:
El conjunto solución de la desigualdad
, se obtiene haciendo la intersección de los conjuntos solución y ; es decir, graficando en una misma recta numérica ambos conjuntos solución, donde, se puede apreciar que el conjunto de soluciones comunes se encuentra entre 0 y ½, incluyendo el cero y no ; por lo tanto, el conjunto solución de la Desigualdad es el intervalo: 
en forma de intervalo.
En forma de conjunto.
En la recta real.
Ejemplo 3
Halle el conjunto solución de la inecuación o desigualdad: 3x(x - 1) ≥ -2(x + 1) + 4 y exprese el conjunto solución en forma de intervalo.
Solución
Antes de empezar a realizar el procedimiento, se debe hallar el dominio de la variable; en este caso, es el conjunto de todos los números reales; porque para cualquier valor real que tome la expresión, esta representará otro número real.
Al llegar a este punto se tienen básicamente dos formas de hallar el conjunto solución: En la primera, se determina, para cada factor, los valores donde es cero, es positiva o es negativa y se hace la operación teniendo en cuenta los intervalos donde la expresión en su totalidad es negativa. Es decir:
De donde el conjunto solución de la desigualdad es:
Un segundo caso, consiste de hallar los valores donde la expresión se hace cero y dividir la recta en diferentes intervalos; en cada intervalo escoger un valor de prueba para conocer el signo de toda la expresión y así, determinar los intervalos solución; esto es:
La expresión (3x + 2)(x - 1) ≥ 0 cuando uno, o ambos factores se hacen cero; es decir para
; se traza una recta numérica y se ubican estos valores, determinando tres intervalos: I, II, III.
.
Ejemplo 4
Halle el conjunto solución de la desigualdad:
Solución
Antes de empezar a realizar el procedimiento, se debe hallar el dominio de la variable; en este caso, es: R - {5}, que significa que el 5 no puede hacer parte del conjunto solución.
Se determina, para cada factor en el numerador y en el denominador, los valores donde es cero, es positiva o es negativa y se hace la operación teniendo en cuenta los intervalos donde la expresión en su totalidad es no negativa (mayor o igual que cero. Es decir:
De donde el conjunto solución de la desigualdad es: S = (-∞, 0] ∪ [2, 5)
Ejemplo 5
Resuelva la desigualdad: |x - 3| + 2x < 5
Solución 1
Para resolver esta desigualdad, hay que tener en cuenta la definición de valor absoluto, por lo que se deben considerar dos casos.
Primer caso: x - 3 ≥ 0; como la expresión x - 3 es positiva o cero, el valor absoluto de la expresión es la misma expresión; es decir, |x - 3| = x - 3, donde la desigualdad inicial: |x - 3| + 2x < 5, se convierte en x - 3 + 2x < 5, con la condición x - 3 ≥ 0 ó x ≥ 3.
Así que, halla el conjunto solución de la inecuación:
El conjunto solución se obtiene de la intersección del conjunto de valores impuestos en la condición para hallar el valor absoluto de la expresión x - 3 y el conjunto solución obtenido al resolver la desigualdad; es decir, x ≥ 3 y
, que da como resultado el conjunto vacío. Así, la solución 
Segundo caso: x - 3 < 0; como la expresión x - 3 es negativa, el valor absoluto de la expresión se cambia de signo; es decir, | x - 3 | = (x - 3), donde la desigualdad inicial: | x - 3 | + 2x < 5, se convierte en ( x - 3 ) + 2x < 5, con la condición x - 3 < 0 ó x < 3.
Así que, hay que hallar el conjunto solución de la inecuación:
El conjunto solución se obtiene de la intersección del conjunto de valores impuestos en la condición para hallar el valor absoluto de la expresión x - 3, y el conjunto solución obtenido al resolver la desigualdad; es decir, x < 3 y x < 2 , que da como resultado el conjunto (-∞, 2). Así, la solución
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad, es la unión de los dos conjunto solución; es decir,
.Solución 2
Para la primera desigualdad:
Donde la solución es:
Para la segunda desigualdad:
Donde la solución es:
Por lo tanto el conjunto solución de la desigualdad es
Ejemplo 6
A un estudiante se le califican tres pruebas en una escala de 0 a 100, obteniendo las siguientes notas: 60, 70 y 80. ¿Qué calificaciones debe obtener en dos pruebas adicionales para promediar 80, o más de 80, en las cinco pruebas?
Solución
Para solucionar este problema, debe conocerse la forma de hallar un promedio de notas; en este caso, el promedio de las cinco notas se halla de la siguiente forma: 
Luego, se determina en que rangos debe ir el promedio; esto es: 80 ≤ promedio ≤ 100. Es decir, si se toma:
nota1 = 60, nota2 = 70, nota3 = 80, nota4 = a y nota5 = b, se tiene que:
Si se observa la última expresión, se puede apreciar una dependencia entre las dos notas; es decir, a no puede ser menor que 90, porque si lo fuera, b sería mayor que 100; así que, mientras a oscila entre 90 y 100, b oscilaría entre 100 y 90. Por ejemplo, si a fuera 92, 190 - 32 ≤ b ≤ 200 - 92 → 98 ≤ b ≤ 108 y 98 ≤ b 100 Por lo tanto la respuesta es: a ∈ [90, 100] y b ∈ [90, 100] de tal forma que a + b ∈ [190, 200].