En diversas ocasiones se encuentran en la vida cotidiana situaciones de cambio: el cambio en los costos de transporte, el cambio en los costos de un artículo, el cambio en el número de individuos de una población, etc.

En cada situación es importante establecer como se relacionan entre si las cantidades con valores cambiantes o variables, para así poder describir cualitativa y/o cuantitativamente su comportamiento.

A continuación se presentan ocho situaciones donde se involucran diversos contextos matemáticos y no matemáticos y se establecen ciertas relaciones entre las cantidades dadas.

Situación 1

La Secretaría de Tránsito y Transporte de la Ciudad de Cali, a través del decreto N° 0020 del 20 de enero de 2006, estableció las siguientes tarifas básicas para el servicio público de transporte individual municipal (Vehículos tipo Taxi).

La palabra banderazo se refiere a la acción que ejecuta una persona al solicitarle a un taxista que se detenga para la prestación del servicio de taxi. El recargo nocturno corresponde al valor adicional que se cobra cada vez que se solicite un servicio de taxi desde las 21:00 horas hasta las 05:00 horas del día siguiente.

Para registrar el número de unidades en un recorrido se usa un taxímetro con visor–lector. Al encenderse el taxímetro, el visor-lector marca inicialmente 14 unidades las cuales van aumentando de una en una cada 80 metros de recorrido o cada 45 segundos cuando el auto este detenido.

El valor a cobrar por el servicio será el resultante de multiplicar el número de unidades que muestre el visor-lector por el valor de la unidad, aproximado al múltiplo de 100 más cercano. Sin excepción, el motorista de todo vehículo tipo taxi debe portar una tabla de equivalencia entre unidades y valores de la siguiente forma:


I. Suponga que una persona le solicita a un taxista que se detenga para la prestación del servicio de taxi, dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali, en horario diurno (entre las 05:00 y 21:00 horas) en un día que no es domingo ni festivo.

a) Sí la persona decide no abordar el taxi, ¿es legal que el taxista le cobre por el servicio? ¿Cuánto debe ser ese valor?
b) Sí la persona se baja a los 50 metros de recorrido, ¿cuánto se le debe cobrar por la carrera?
c) Cuando la persona se baja del taxi, ¿es posible que el visor–lector del taxímetro registre 13 unidades?
d) Sí la persona se baja cuando el visor-lector del taxímetro registra 35 unidades, ¿cuánto se le debe cobrar por la carrera?
e) Sí la persona se baja cuando el visor-lector del taxímetro registra 275 unidades, ¿cuánto se le debe cobrar por la carrera?
f) Sí la persona se baja cuando el visor-lector del taxímetro registra 400 unidades, ¿cuánto se le debe cobrar por la carrera?
g) ¿Es posible que el taxista cobre por el servicio $2500?
h) ¿Es posible que el taxista cobre por el servicio $17750?
i) Sí el taxista cobra por el servicio $4500, ¿cuántas unidades debe mostrar el visor-lector del taxímetro?
j) Sí el taxista cobra por el servicio $16200, ¿cuántas unidades debe mostrar el visor-lector del taxímetro?
k) Sí el taxista cobra por el servicio $23600, ¿cuántas unidades debe mostrar el visor-lector del taxímetro?

II. Para la prestación del servicio de taxi, dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali, se programa el taxímetro de tal manera que el visor-lector muestra unidades hasta de seis dígitos.

a) Sí el dominio es el conjunto formado por las unidades que puede registrar el visor-lector, ¿cuál es el dominio programado en el taxímetro?
b) Suponga que se solicita a un taxista que se detenga para la prestación del servicio en horario diurno en un día que no es domingo ni festivo. Sí el rango es el conjunto de valores que se puede cobrar por el servicio, ¿cuál es el rango asociado a las unidades programadas en el taxímetro?

III. Una empresa de taxis, a través de dos rutas diferentes, presta el servicio de un sitio a otro dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali. Suponga que la prestación del servicio no es puerta a puerta y se hace en horario diurno, exceptuando los días domingos y festivos. La tabla siguiente muestra las unidades asignadas a cuatro recorridos realizados por las dos rutas:


a) ¿Cuál es el incremento en el número de unidades asignadas a cada recorrido?
b) ¿Cuál es la variación en el precio de cada recorrido?

IV. El costo de una carrera mínima en horario diurno, dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali, y en un día que no es domingo ni festivo es $2800. ¿Cómo varían las unidades que muestra el visor–lector del taxímetro para éste valor?

V. Un taxista hace dos carreras en horario diurno, dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali, en un día que no es domingo ni festivo. Suponga que la prestación de ambos servicios no es puerta a puerta y que el taxista no se detiene durante cada recorrido. Sí el taxista cobra por la primera carrera $8000, y por la segunda $15200, ¿en cuántas unidades varia una carrera con respecto a la otra?

VI. Con base en la lista de valores por unidades, describa la forma en que varía el costo de la carrera según las unidades registradas.

VII. Se solicita un servicio de taxi en horario nocturno, dentro del perímetro urbano de la Ciudad de Cali, para que realice una carrera a la Terminal de Transporte. Si la distancia recorrida desde el sitio donde se solicito el servicio hasta la Terminal de Transporte es de 8 kilómetros y durante 4 minutos consecutivos el taxi estuvo detenido, ¿cuál es el costo de la carrera?

Solución:

I.
a) Aunque la persona no aborde el taxi, el decreto 0020 de enero de 2006 faculta al taxista, bajo el concepto de banderazo, cobrar por este servicio la tarifa básica de $800.
b) Cuando se inicia la carrera y el taxista enciende el taxímetro, el visor- lector debe marcar 14 unidades las cuales van aumentando de una en una cada 80 metros de recorrido. Luego, a los 50 metros de recorrido, el visor-lector aún registra 14 unidades y según la lista de valores por unidades a la persona se le debe cobrar la tarifa mínima de $2800.
c) No es posible que se registren 13 unidades, pues el visor-lector muestra inicialmente 14 unidades.
d) Según la lista de valores por unidades, sí el visor-lector registra de 14 a 47 unidades se debe cobrar la carrera mínima. Luego, la tarifa a cobrar por 35 unidades es $2800.
e) Según la lista de valores por unidades, sí el visor-lector registra 275 unidades a la persona se le debe cobrar por la carrera $16200.
f) Las 400 unidades que registra el visor-lector exceden al máximo de unidades que aparecen en la lista de valores. En este caso el valor a cobrar por el servicio será el resultado de multiplicar el número de unidades que muestre el visor-lector (400) por el valor de la unidad (59), aproximado al múltiplo de 100 más cercano: 400 * 59 = 23600. Por lo tanto, a la persona se le debe cobrar por la carrera $23600.
g) No es posible que el taxista cobre $2500, pues una vez prestado el servicio el costo mínimo a cobrar es $2800.
h) No es posible que el taxista cobre $17750, pues una vez prestado el servicio el valor a cobrar resulta ser un múltiplo de cien mayor o igual a 2800.
i) Sí el taxista cobra por el servicio $4500, según la lista de valores por unidades, el visor–lector debe registrar 76 unidades.
j) Sí el taxista cobra por el servicio $16200, según la lista de valores por unidades, el visor-lector debe registrar 274 ó 275 unidades.
k) El valor máximo que muestra la lista de valores por unidades es de 19500 al cual están asociados 330 ó 331 unidades y para completar el valor de 23600 faltan 4100 al cual están asociados 69 ó 70 unidades. Luego el lector-visor deberá registrar unidades desde 69 + 330 hasta 70 + 331, es decir, deberá mostrar unidades desde 399 hasta 401. Sin embargo, el valor a cobrar para cada una de las unidades que se muestra es:

399 * 59 = 23541 ≈ 23500 (aproximado al múltiplo de 100 más cercano)
400 * 59 = 23600
401 * 59 = 23659 ≈ 23700 (aproximado al múltiplo de 100 más cercano)
Por lo tanto, el visor-lector debe registrar 400 unidades para que el taxista cobre $23600.

II.
a) Al encenderse el taxímetro, el lector-visor marca inicialmente 14 unidades las cuales se incrementan de una en una. Como la capacidad de registro del visor es hasta seis dígitos, entonces el dominio programado en el taxímetro es el conjunto de unidades {14, 15, 16, 17, 18, ..., 999998, 999999}.
b) Según el decreto 0020 del 20 de enero de 2006 se debe cobrar $800 por concepto de banderazo y $2800 por la carrera siempre que el visor–lector registre de 14 a 47 unidades. De aquí en adelante los valores a cobrar varían de cien en cien hasta $58999900 valor que corresponde al máximo de unidades que puede registrar el visor-lector:

48 * 59 ≈ 2900
49 * 59 ≈ 2900
50 * 59 ≈ 3000
.
.
.
999998 * 59 ≈ 58999900
999999 * 59 ≈ 58999900
Luego el rango asociado a las unidades programadas en el taxímetro está constituido por el conjunto de valores: {800, 2800, 2900, 3000, ..., 58999900, 58999900}.

III.
a) El incremento correspondiente, según las unidades asignadas a los cuatro recorridos, es de:

• 7 unidades, cuando el recorrido es del sitio A al sitio B.
• 7 unidades, cuando el recorrido es del sitio C al sitio D.
• 1 unidad, cuando el recorrido es del sitio E al sitio F.
• 10 unidades, cuando el recorrido es del sitio G al sitio H.

b) Según la lista de valores por unidades:

• Un recorrido del sitio A al sitio B tiene un costo de $2800 tanto en la ruta 1 como en la ruta 2. Luego, no hay variación en los precios del recorrido.
• Un recorrido del sitio C al sitio D tiene un costo de $2800 en la ruta 1 y de $3000 en la ruta 2. Luego, los precios del recorrido varían en $200.
• Un recorrido del sitio E al sitio F tiene un costo de $10300 tanto en la ruta 1 como en la ruta 2. Luego, no hay variación en los precios del recorrido.
• Un recorrido del sitio G al sitio H tiene un costo de $18400 en la ruta 1 y de $19000 en la ruta 2. Luego, los precios del recorrido varían en $600.
Para $2800, según la lista de valores por unidades, hay 34 unidades asociadas que registradas por el visor–lector aumentan de una en una desde 14 hasta 47 unidades.

IV.
Según la lista de valores por unidades, el visor-lector del taxímetro registra en la primera carrera 135 ó 136 unidades y en la segunda 257 ó 258 unidades. Al establecer la menor y mayor diferencia de unidades de una carrera con respecto a la otra se obtienen respectivamente: 257 –136 = 121 y 258 – 135 = 123. Luego, el número de unidades en que varía una carrera con respecto a la otra puede ser 121, ó 122, ó 123.

V.
Según la lista de valores por unidades, el costo de una carrera oscila desde $2800 hasta $19500. La forma en que varía este costo con respecto a las unidades registradas es la siguiente:

• De 14 a 47 unidades el costo de la carrera es $2800. Luego, al aumentar las unidades de una en una, no hay variación en el costo.
• De 47 a 48 unidades el costo de la carrera cambia de $2800 a $2900. Luego, al aumentar las unidades, el costo se incrementa en $100.
• De 48 a 49 unidades el costo de la carrera es $2900. Luego, al aumentar las unidades, no hay variación en el costo.
• De 49 a 50 unidades el costo de la carrera cambia de $2900 a $3000. Luego, al aumentar las unidades, el costo se incrementa en $100.
• De 50 a 51 unidades el costo de la carrera es $3000. Luego, al aumentar las unidades, no hay variación en el costo.
• De 51 a 52 unidades el costo de la carrera cambia de $3000 a $3100. Luego, al aumentar las unidades, el costo se incrementa en $100.
• .....
De acuerdo con lo anterior, se deduce que el costo de una carrera al aumentar las unidades de una en una, o se mantiene constante, o se incrementa en cien pesos.

VI.
Al establecer el costo de la carrera, el taxista tiene en cuenta: el valor asociado al número de unidades que registra el lector-visor del taxímetro, el valor a cobrar por recargo nocturno, y el valor a cobrar por servicio puerta a puerta.

VII.
El lector-visor registra 119 unidades que se obtienen al sumar:

• 14 unidades al encenderse el taxímetro.
• 100 unidades debidas a los 8000 metros (8 kilómetros) que el auto recorrió (recuerde que cada 80 metros de recorrido el número de unidades se incrementa en una unidad).
• 5 unidades por los 240 segundos (4 minutos) consecutivos en que el taxi se detuvo (recuerde que cada 45 segundos en que el auto estuvo detenido el número de unidades se incrementa en una unidad).
y, según la lista de valores, el valor a cobrar por éstas unidades es $7000. Según la tabla de tarifas básicas, el valor a cobrar por recargo nocturno es $700 y por servicio puerta a puerta $600.
Por lo tanto, $7000 + $700 + $600 es el costo de la carrera, es decir, $8300.

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Situación 2

Con base en la tabla que aparece a continuación y donde se establece una relación entre las variables enteras x e y

Responda las siguientes preguntas:

a. ¿Cuáles son los valores de y cuando x vale 2?
b. ¿Cuál es el valor de x, si y vale –1?
c. ¿Cuáles son los valores de y cuando x toma valores entre 0 y 3?
d. ¿Cuáles son los valores de x cuando y toma valores entre -2 y -1?
e. Sí el dominio de una relación entre las variables x e y es el conjunto de valores que toma x para que al menos exista un y, ¿cuál es el dominio de la relación definida por la tabla?
f. Sí el rango de una relación entre las variables x e y es el conjunto de valores que toma y para cualquier valor de x en el dominio, ¿cuál es el rango de la relación definida por la tabla?

Solución:

a. Según la tabla, cuando x vale 2 los valores enteros que toma y son 2 y -2.
b. Según la tabla, cuando y vale –1 el valor entero que toma x es 1.
c. La expresión “valores de x entre 0 y 3” se refiere a números enteros que van desde 0 hasta 3 sin incluir a 0 y a 3. Esto significa que x toma los valores 1 ó 2, y según la tabla, cuando x vale 1 los valores enteros que toma y son 1 y –1 y cuando x vale 2 los valores que toma y son 2 y –2.
Por lo tanto, los valores enteros que toma y cuando x toma valores entre 0 y 3 es el conjunto de elementos {-2, -1, 1, 2}.
d. La expresión “valores de y entre –2 y –1” se refiere a números enteros que van desde -2 hasta -1 sin incluir a -2 y a –1. Esto significa que no existen valores de y, independientemente de la forma como éstos se ordenen en la tabla.
Por lo tanto, al no existir valores de y entre –2 y –1, no se pueden establecer los valores de x.
e. El dominio de la relación definida por la tabla, son los valores que toma x para que al menos exista un y, los cuales corresponden a los números enteros que van desde 0 hasta 4.
Al representar por extensión estos valores, los números repetidos se escriben una sola vez, es decir, se considera como dominio de la relación el conjunto en lugar del conjunto {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}.
Los números enteros que van desde 0 hasta 4 pertenecen al intervalo [0, 4], pero este intervalo no se puede considerar como dominio de la relación, ya que involucra la asignación de valores no enteros para la variable x. Sin embargo, la intersección del intervalo con el conjunto de los números enteros genera el conjunto {0, 1, 2, 3, 4} y esto permite representar el dominio de la relación como: [0, 4] ∩ Z.
f. El rango de la relación definida por la tabla es el conjunto de valores que toma y para cualquier valor de x en el dominio, los cuales corresponden a los números enteros que van desde -4 hasta 4.
Al representar por extensión estos valores, el rango de la relación es el conjunto {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Los números enteros que van desde -4 hasta 4 pertenecen al intervalo [-4, 4], pero este intervalo no se puede considerar como rango de la relación, ya que involucra la asignación de valores no enteros para la variable y. Sin embargo, la intersección del intervalo con el conjunto de los números enteros genera el conjunto {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y esto permite representar el rango de la relación como: [-4, 4] ∩ Z.

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Situación 3

A una persona que ingresó a una clínica en la madrugada del Lunes se le tomó la temperatura (en °C) a partir de la 1 AM. Con la información obtenida y usando interpolación se construyó la gráfica que se presenta a continuación en la Gráfica 1.

En el eje horizontal cada número corresponde a una hora, por ejemplo el número 1 corresponde a la 1 AM, el 2 a las 2 AM. En el eje vertical cada número corresponde a la temperatura (en °C), por ejemplo el número 37 corresponde a 37°C, 38°C a 38°C.

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica anterior.

a) ¿Qué temperatura se registró a la 1 AM?
b) ¿A qué hora la temperatura fue de 38°C?
c) ¿En algún momento la temperatura fue de 41°C?
d) ¿Qué temperaturas se registraron entre las 2:30 AM y las 3:30 AM?
e) ¿En algún momento la temperatura fue de 38.5°C?
f) ¿En algún momento la persona presentó temperaturas desde 37.5°C hasta 38.5°C ?
g) ¿Qué temperaturas se registraron entre las 4 AM y las 6 AM?
h) ¿Cuándo la temperatura estuvo entre 39°C y 40°C?
i) ¿Cuál fue el intervalo de tiempo en que se le tomaron las temperaturas?
j) ¿En qué intervalo se registran estas?

Solución:

a) Para el número 1 en el eje horizontal le corresponde en la gráfica el número 40, (ver Gráfica 1). Por lo tanto, la temperatura a la AM fue de 40°C.
b) Para el número 38 en el eje vertical, existen dos puntos en la gráfica que corresponden en el eje horizontal a los números 4 y 8.5, (ver Gráfica 1). Por consiguiente la temperatura fue de 38°C a las 4 AM y a las 8:30 AM.
c) No, porque, la temperatura máxima fue 40°C y se presentó entre la 1 AM y las 3 AM.
d) Este intervalo se analiza en dos partes. Entre 2:30 AM y 3 AM , y entre 3 AM y 3:30 AM.
Entre las 2:30 AM y las 3 AM la temperatura no cambio fue 40°C y entre las 3 AM y las 3:30 AM la temperatura disminuyó de 40°C a 39°C.
e) Para determinar los momentos en los que la temperatura fue de 38.5°C, se señala en la gráfica el número 38.5 en el eje vertical y se traza una recta horizontal como se muestra a continuación en la Gráfica 2,

Si la recta horizontal toca a la gráfica, en ese punto se traza una recta vertical dirigida hacia el eje horizontal. Se observa que hay tres puntos donde la recta toca a la gráfica y los números en el eje horizontal están respectivamente así: el primer número entre 3.5 y 4; el segundo número es 5 y el tercer número está entre 7 y 7.5 .
Por lo tanto, la temperatura fue de 38.5°C en tres ocasiones, la primera entre la 3:30 AM y las 4 AM, la segunda a las 5 AM y la tercera entre las 7 AM y las 7:30 AM.
f) Para determinar los momentos en los que la persona presentó temperatura desde 37.5°C hasta 38.5°C, se hace un barrido horizontal señalando en el eje vertical el intervalo [37.5 , 38.5], para los puntos de la gráfica que se encuentren en esta franja se hace una proyección sobre el eje horizontal como se muestra a continuación (ver Gráfica 3):

En el eje horizontal las proyecciones de la gráfica se ubican en dos intervalos. El primero es aproximadamente de 3.75 a 5, y el segundo aproximadamente de 7.25 hasta 9.75.

Por lo tanto, la persona presentó temperatura desde 37.5°C hasta 38.5°C en dos ocasiones, la primera aproximadamente entre las 3:45 AM y las 5 AM, y la segunda entre las 7:15 AM y las 9:45 AM.
g) Entre las 4 AM y las 6 AM se presentaron temperaturas comprendidas entre 38 y 39 grados centígrados.
h) De las 3 AM hasta las 3:30 AM la temperatura disminuyó de 40°C a 39°C. Por lo tanto, la temperatura estuvo entre 39°C y 40°C entre la 3 AM y las 3:30 AM.
i) Las temperaturas se tomaron desde la 1 AM hasta las 11 AM.
j) Las temperaturas varían desde 37°C hasta 40°C.

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Situación 4

Teniendo en cuenta la Gráfica 4, responda las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el valor de y que le corresponde a x = 1 ?
b) ¿Cuál es el valor de x que está relacionado con y = 1?
c) ¿Existen valores de que estén en correspondencia con x = 2.5?
d) ¿Cuál es el valor de y que le corresponde a x = √10?
e) ¿Existen valores de que estén asociados a x = 1.2 ó x = 0.9?
f) ¿Existen valores de y que estén en correspondencia con x = 2.45, x = 2.501?
g) ¿Existen valores de x que le corresponden a y = 2?
h) ¿Cuál es el conjunto de valores y que le corresponde a x, si x ∈ [2.5, √10] ?
i) ¿Cuál es el conjunto de valores x que le corresponde a y, si y ∈ [1, 2]= ?
j) Si el dominio es el conjunto de valores de x que le corresponde algún y, ¿Cuál es el dominio que le corresponde a la gráfica G?
k) Si el rango es el conjunto de valores de y que le corresponde algún x, ¿Cuál es el rango que le corresponde a la gráfica G?

Solución:

a) El valor que le corresponde a x = 1 es y = 3.3, porque el punto de coordenadas (1, 3.3) hace parte de la gráfica.
b) Existen dos puntos en la gráfica cuya coordenada es y = 1, estos son (-3, 1) y (0.5, 1). Luego los valores de valores de x que están relacionados con y = 1 son x = -3, x = 0.5 .
c) El punto de coordenadas (2.5, -2) pertenece a la gráfica, por lo tanto, si existe un valor de y que está en correspondencia con x = 2.5. El valor es y = -2.
Observación: El punto de coordenadas (2.5, 1) no pertenece a la gráfica. En una gráfica cuando se quiere indicar que un punto no hace parte de ella, se dibuja en dicho punto un círculo pequeño como este “°”.
d) Existen dos puntos en la gráfica cuya coordenada es √10, estos son (√10, 0) y (√10, -2). Luego existen dos valores para la variable y, que le corresponden a x = √10, estos valores son y = 0, y = -2.
e) En la gráfica no aparecen puntos de la forma (1.2, y) ó (0, y). Por lo tanto, no existen valores de que estén asociados a x = 1.2 ó x = 0.9.
f) Si x = 2.45 no existen puntos en la gráfica de la forma (2.45, y) por consiguiente no existen valores para y que estén en correspondencia con x = 2.45.
Si x = 2.501 existen dos puntos en la gráfica de la forma (2.501, y), un punto se encuentra en el primer cuadrante y el otro en el cuarto cuadrante, por lo tanto, existen dos valores de y que están en correspondencia con x = 2.501 .
g) El punto (0, 2) pertenece a la gráfica, por lo tanto, existe un valor x = 0 que le corresponde a y = 2.
h) Para hallar el conjunto de valores y, que le corresponden a x, si x ∈ [2.5, √10] en la gráfica se hace un barrido vertical en el intervalo [2.5, √10], y si se encuentran puntos de la gráfica en ese barrido, entonces para cada punto de la gráfica se hace una proyección sobre el eje y, como se muestra en la Gráfica 5:

i) Para los puntos de la gráfica que están en el primer cuadrante, el conjunto de valores de que le corresponde a se encuentra en el intervalo [0, 1). Para los puntos que están en el cuarto cuadrante, el valor y = -2 le corresponde a todos los x ∈ [2.5, √10]. Por lo tanto, el conjunto de valores de y que le corresponde a x ∈ [2.5, √10] es el conjunto {-2} ∪ [0, 1).
j) Para hallar el conjunto de valores x, que le corresponden a y, si y ∈ [1, 2] en la gráfica se hace un barrido horizontal (ver Gráfica 6) en el intervalo [1, 2], y si se encuentran puntos de la gráfica en ese barrido, entonces para punto de la gráfica se hace una proyección sobre el eje x como se muestra en la Gráfica 6:

Si y = 1 existen dos valores de x, x = -3 y x = 0.5 . Si y ∈ [1, 2] entonces los valores de x se encuentran en el intervalo (-1, 0]. Por lo tanto, el conjunto de valores x que le corresponde a y, si y ∈ [1, 2] es el conjunto: {-3, 0.5} ∪ (-1, 0].
k) Para hallar el dominio de la gráfica G se proyectan los puntos de la gráfica sobre el eje x como se ilustra en la Gráfica 7.

Por lo tanto, el dominio que le corresponde a la gráfica es el conjunto: [-3, -1) ∪ (-1, 0] ∪ {0.5, 1, 1.5} ∪ (2.5, √10].
l) Para hallar el rango de la gráfica G se proyectan los puntos de la gráfica sobre el eje y como se ilustra en Gráfica 8.

Por lo tanto, el rango que le corresponde a la gráfica G es el conjunto: {-2} ∪ [0, 2] ∪ {3} ∪ {3.3} ∪ = {-2, 3, 3.3} ∪ [0, 2].

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Situación 5

Con base en la siguiente situación:

Dada una fuente de luz con una de fuerza 16 unidades, como lo muestra la Gráfica 9, la intensidad de iluminación, I, en cualquier punto P que esté a una distancia x en centímetros desde la fuente está dada por la expresión: .

Responda los siguientes cuestionamientos:

1. ¿Cuál es el valor de la intensidad de iluminación para los siguientes valores de la distancia del punto P a la fuente: 0cm., 0.25cm., √2/2cm., 5cm., 100cm.?

Solución:

Los valores que se dan en el problema corresponden a la variable x, se reemplaza este valor en la fórmula dada y el valor obtenido es de la intensidad de iluminación:

2. A continuación se da una tabla de valores que ilustra la intensidad de iluminación para los primeros 100 valores enteros de la distancia del punto P a la fuente. Describa la forma en que varía la intensidad de iluminación a medida que el punto P se aleja de la fuente.

Solución:
De acuerdo con los valores obtenidos en la situación anterior, se puede observar que la intensidad va disminuyendo su valor, pero hay una pequeña incertidumbre, ¿qué sucede entre dos valores enteros sucesivos de la distancia?; ¿especialmente entre 0 y 1?

Para resolver este interrogante, se considerarán inicialmente valores racionales e irracionales entre 0 y 1:

Se puede observar que cuando la distancia es cercana a 0 cm, el valor de la intensidad aumenta rápidamente; para un mejor detalle se considerarán valores entre 0 y 0.1.
Se puede observar que a medida que se está más cercano a 0 cm., el valor de la intensidad de la iluminación se hace mucho mayor, con tendencia hacia el infinito; por lo tanto, cuando la distancia es 0 cm. la intensidad es infinita.

Con base en la información anterior, se puede afirmar que cuando la distancia es cero, la luminosidad se puede considerar de valor infinito, a medida que se aleja de la fuente, la intensidad de iluminación disminuye, tendiendo a cero (0).

3. ¿Qué valores puede tomar la variable x ?

Solución:
De acuerdo con la información del problema, la variable x, que representa la distancia de un punto P a la fuente, no puede ser cero, ni menor que cero; a pesar de que en la fórmula se puedan asignar valores negativos. Además, el valor que no puede tomar la variable x es cero (0), en el cual se indetermina la ecuación. Por lo tanto, los valores que puede tomar la variable x pertenecen al intervalo (0, +∞)

4. El valor de la intensidad de iluminación entre las fuentes puede tomar un valor de 0 cm.?, ¿Puede tomar un valor negativo?, ¿Un valor de ?

Solución:
La intensidad de iluminación entre las fuentes se acerca al valor cero, pero nunca es cero, siempre hay una intensidad de iluminación por más alejada que se encuentre el punto P de la fuente. De igual forma tampoco puede ser negativa, ya que el contexto del problema no lo permite, no tendría sentido hablar de este tipo de luminosidad. Además, si se analiza la fórmula matemática que permite el cálculo de la luminosidad, la variable x aparece al cuadrado y aparece en el denominador, lo que no hace posible que tome un valor de cero o negativo.

Con relación a una intensidad de luminosidad de , si es posible obtenerla, siempre y cuando la distancia del punto P a la fuente se encuentre a una distancia de 0.004cm. porque:
.

5. ¿Qué valores puede tomar la variable I(x)?

Solución:
De acuerdo con el análisis anterior, los valores que puede tomar la intensidad de luminosidad I(x), es el intervalo (0, +∞).

6. Si el dominio de la intensidad de luminosidad, I(x), se define como los valores que puede tomar la distancia entre las fuentes, ¿cuál es el dominio de I(x)?

Solución:
Esta pregunta ya se ha respondido en el cuestionamiento número 3, sólo que se le asigna un nombre y una nomenclatura. Por lo tanto, el dominio de I(x) se puede representar de la siguiente forma: .
7. Si el rango de la intensidad de luminosidad, I(x), se define como los valores que puede tomar la intensidad de luminosidad, I(x), ¿Cuál es el rango de I(x)?

Solución:
Esta pregunta ya se ha respondido en el cuestionamiento número 5, sólo que se le asigna un nombre y una nomenclatura. Por lo tanto, el rango de I(x) se puede representar de la siguiente forma:

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EVALUACIÓN DE LA EXPRESIÓN

Situación 6

Sea la expresión:

1. Calcular

Solución:
Para calcular r(-2), hay que tener en cuenta que el -2 representa el valor de x. Por lo tanto, en la expresión se debe buscar en que parte estaría ubicado este valor. Se puede observar que está en el intervalo ,-2 ≤ x < 1 que tiene asignado el valor 1; por lo tanto: r(-2) = 1; lo mismo sucedería con r(-1.5), que se encuentra en el mismo intervalo; por lo tanto: r(-1.5) = 1

Para el caso de r(-1), se puede observar que x = -1 es un extremo de dos intervalos, -2 ≤ x < 1 y -1 < x 3, x ≠ 1 pero no pertenece a ninguno de ellos; por lo tanto, r(-1) no está definido en esta expresión.

Para , el valor de x cae en el intervalo -1 < x 1, que tiene asignada la fórmula: -(x - 1)² + 5; por lo tanto:


Para r(1), se puede observar que en la expresión hay dos intervalos posibles que contienen este valor, uno que tiene la fórmula: -(x - 1)² + 5, pero que no se puede utilizar porque ésta se encuentra definida para los valores reales entre -1 y 3, excepto el 1 y la otra si se puede utilizar porque el 1 es un extremos de un intervalo cerrado: 1 ≤ x < 3, que tiene como fórmula: x - 3, por lo tanto, r(1) = 1 - 3 = -2.

El caso r(2.3) tiene como valor de x a 2.3, este valor pertenece a dos intervalos: -1 < x 3, x ≠ 1 y 1 ≤ x 3; por lo tanto, tiene dos valores: r(2.3) = -(2.3 - 1)² + 5 = -(1.3)² + 5 = 1.69 + 5 = 3.31 y r(2.3) = 2.3 - 3 = -0.7

Para calcular, r(5) se puede para este valor de x se encuentra definido el valor 1; por lo tanto, r(5) = 1.

Para el hallar r(5.8), se puede observar que para el valor x = 5.8, no existe ningún intervalo, ni ningún valor para el cual esté definido, así, r(5.8) no está definido para este valor de x.

2. Calcular r(1 + h), para cada uno de los siguientes valores de h: h = -2.5 , h = -1.5, h = 1, h = 7/4 y h = √3.

Solución:
Si h = -2.5, r(1 + h) = r(1 + (-2.5)) = r(-1.5) = 1
Si h = -1.5, r(1 + h) = r(1 + (-1.5)) = r(0.5). Para hallar el valor, hay que tener en cuenta que x = -0.5 pertenece a dos intervalos y por lo tanto le corresponden dos valores:
r(-0.5) = 1 y r(-0.5) = -(-0.5 - 1)² + 5 = -(-1.5)² + 5 = -2.25 + 5 = 2.75
Si h = 1, r(1 + h) = r(1 + 1) = r(2). Para hallar el valor, hay que tener en cuenta que x = 2 pertenece a dos intervalos y por lo tanto le corresponden dos valores:
r(2) = -(2 - 1)² + 5 = -1 + 5 = 4 y r(2) = 2 - 3 = -1
Si h = 7/4, r(1 + h) = r(1 + 7/4) = r(11/4). Para hallar el valor, hay que tener en cuenta que x = 11/4 pertenece a dos intervalos y por lo tanto le corresponden dos valores:

Si h = 2√3, r(1 + h) = r(1 + 2√3) este valor no existe porque no hay un intervalo en el cual este valor de x se encuentre definido.

3. ¿Cuál es la expresión para r(1 + h) ?

Solución:
En este caso x es igual a 1 + h, entonces la expresión hay que darla en términos de h; es decir, que en la expresión en cambio de x debe aparecer 1 + h:
O sea:


4. Con la expresión hallada, halle ,r(1 + h) para h = 7/4.

Solución:
Se puede apreciar que h = 7/4 pertenece a dos intervalos, por lo tanto tendrá asignados dos valores:


5. Calcular r(x + h) para cada uno de los siguientes valores de x y de h: x = -1 y h = ½, h = -2, h = -0.125 y h = π.

Solución:
Si x = -2 y h = ½, . Para este valor de x, existen dos valores de r(x): y

Si x = -1 y h = ½ , r(x + h) = r(-1 + (-2)) = r(-3). Para este valor de x, la expresión no está definida.
Si x = -1 y h = -0.125 , r(x + h) = r(-1 + (-0.125)) = r(-1.125) = 1.
Si x = -1 y h = π , r(x + h) = r(-1 + π), Para este valor de x existen dos valores de r(x):
El primero:
El segundo:

6. ¿Cuál es la expresión para r(x + h) ?

Solución:
Para obtener la expresión para r(x + h), se debe asumir un cambio, el de x por x + h
O sea:


7. Utilizando la expresión obtenida para r(x + h), halle r(x + h) reemplazando para x el valor de 3 y para h el valor de -0.125.

Solución:
r(x + h) = r(3 + (-0.125)), que le corresponden dos valores:
El primero:

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Situación 7

Un grupo de personas planea organizar una excursión para sus vacaciones. Los organizadores desean cotizar el costo del transporte y consultar los diversos planes que ofrecen las agencias de viaje. Una de las empresas, que favorecen en el precio del transporte a grupos numerosos, ofrece tres planes para grupos hasta de 50 personas:

• Plan A.
Para grupos hasta de 5 personas, el costo es de $150000 por cada pasajero.
• Plan B.
Para grupos desde 6 hasta 20 personas, el costo es de $135000 por cada pasajero.
• Plan C.
Para grupos de más de 20 personas el costo es de $120000 por cada pasajero.

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta las condiciones dadas para acceder a los planes A, B y C:

a. Si a la excursión va un grupo de 3 personas, ¿cuál es el costo total del transporte para el grupo?
b. Si a la excursión va un grupo de 10 personas, ¿cuál es el costo total del transporte para el grupo?
c. Si a la excursión va un grupo de 25 personas, ¿cuál es el costo total del transporte para el grupo?
d. Si los organizadores de la excursión han reunido $5400000, ¿qué plan debe escoger el grupo para que viaje el mayor número de personas?
e. Si los organizadores de la excursión han reunido $1920000, ¿cuál es el máximo número de personas que pueden viajar bajo un solo plan?
f. Sí el dominio esta constituido por la cantidad de integrantes que conforman los grupos de personas que pueden viajar, ¿qué dominio se obtiene para la empresa que ofrece los tres planes?
g. Sí el rango son los valores generados por los costos del transporte para cualquier grupo de personas que pueden viajar, ¿cuál es el rango generado por grupos hasta de 50 personas?
h. Describa, para grupos desde 1 hasta 50 personas, la forma cómo varían los costos del transporte en cada plan y de un plan a otro.

Solución:

a. Sí el grupo esta conformado por 3 personas, sólo pueden acceder al plan A y el costo total del transporte es de $450000.
b. Si el grupo esta conformado por 10 personas, entonces se puede acceder al plan B y el costo total del transporte es de $1350000.
c. Si van a la excursión 25 personas, entonces el grupo puede acceder al plan C y el costo total del transporte es de $3000000.
d. Según las condiciones que exige la empresa para acceder a cada plan el grupo debe disponer de un capital que va desde:
• $150000 hasta $750000 en el plan A.

• $810000 hasta $2700000 en el plan B.

• $2520000 hasta $6000000 en el plan C.

Como los organizadores han reunido $5400000 y esta cantidad se encuentra en el rango de valores de la tabla del plan C, entonces el grupo de personas puede acceder al plan C.

e. Con un capital de $1920000 se puede acceder a la oferta del plan B, y según la tabla de costos del plan B la inversión alcanzará para costear el viaje de 14 personas por un valor de $1890000 quedando un excedente de $30000.
f. Esta empresa ofrece planes para grupos hasta de 50 personas, luego la cantidad de integrantes que conforman los grupos de personas que pueden viajar, varía desde 1 hasta 50. Por lo tanto, el dominio esta representado por el conjunto de números enteros: {1, 2, 3, ..., 49, 50}.
g. El rango es el conjunto de valores generados por los costos de transporte, según la oferta de cada plan (Tablas de los planes A, B y C). Por lo tanto, el rango esta representado por el conjunto de números enteros: {150000, 300000, ..., 750000, 810000, 945000, ..., 2520000, 2640000, 2700000, ..., 6000000}
h. Forma como varían los costos de transporte en cada plan:

• Cuando se tienen grupos de 1 hasta 5 personas el costo total del transporte, según el plan A, varía desde $150000 hasta $750000. En este caso, el costo por persona se incrementa en $150000.
• Cuando se tienen grupos de 6 hasta 20 personas el costo total del transporte, según el plan B, varía desde $810000 hasta $2700000. En este caso, el costo por persona se incrementa en $135000.
• Cuando se tienen grupos de 21 hasta 50 personas el costo total del transporte, según el plan C, varía desde $2520000 hasta $6000000. En este caso, el costo por persona se incrementa en $120000.

Forma cómo varían los costos del transporte de un plan a otro:

• Cuando la cantidad de integrantes de un grupo de personas que pueden viajar cambia de 5 a 6, el costo total del transporte varía desde $750000 hasta $810000 (Tablas de los planes A y B). En este caso, al cambiar del plan A al plan B el costo por persona disminuye en $15000.
• Cuando la cantidad de integrantes de un grupo de personas que pueden viajar cambia de 20 a 21, el costo total del transporte varía desde $2700000 hasta $2520000 (Tablas de los planes B y C). En este caso, al cambiar del plan B al plan C el costo por persona disminuye en $15000.

En general, al aumentar la cantidad de integrantes de un grupo de personas que pueden viajar, el costo total del transporte varía desde $150000 hasta $6000000 (Tablas de los planes A, B y C). Mientras que el costo por persona disminuye al cambiar de plan.

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Situación 8

Una persona camina siguiendo una trayectoria circular en el sentido de las manecillas del reloj, sobre una pista de radio 100 metros, ver Gráfica 10. Si se hace coincidir el origen de un plano cartesiano con el centro de la pista, la ecuación x² + y² = 100² relaciona las coordenadas (x, y) de la posición de la persona en la pista.

Con esta información responda las siguientes preguntas:

a) Si la persona se encuentra en un punto de la pista donde el valor de la abscisa x es 0 metros, ¿Cuáles son los valores para la ordenada y ?
b) Si la persona se encuentra en un punto de la pista donde el valor de la ordenada y es 50 metros ¿Cuáles son los valores para abscisa x ?
c) ¿En algún momento la persona se encuentra en un punto de la pista donde el valor de la abscisa x es 110 metros?
d) Si la persona se desplaza desde un punto de la pista donde el valor de la abscisa x es -100 metros, hasta otro punto donde el valor de la abscisa x es -70 metros empleando la trayectoria más corta, ¿Cuál es el cambio en la ordenada y ?
e) Si la persona se encuentra en puntos de la pista para los que la abscisa x ∈ [30, 50] metros, ¿Cuáles son los valores correspondientes para la ordenada y ?
f) Si el dominio es el conjunto de valores de la abscisa x que le corresponde a algún punto en la pista, determínelo.
g) Si el rango es el conjunto de valores de la ordenada y que le corresponde a algún punto en la pista, determínelo.

Solución:

a) En la Gráfica 11 que se muestra a continuación se observan dos puntos marcados con A y B cuyo valor de la abscisa x es 0 metros.

Para el punto A, y = 100 metros; para el punto B, y = -100 metros.

Otra forma de hallar los valores de la ordenada y, para los que la abscisa x es 0 metros, es usando la ecuación x ² + y ² = 100 ² que relaciona los puntos (x, y) en la pista.
Si x = 0 entonces 0 ² + y ² = 100 ²
y ² = 100 ²
| y | = 100
y = 100 metros ó y = -100 metros

b) Para determinar el valor de la abscisa x que le corresponde al punto en la pista si y = 50 metros, se reemplaza en la ecuación x ² + y ² = 100 ² ya que todos los puntos de la pista están relacionados por esta ecuación.

Si y = 0 entonces x ² + 50 ² = 100 ²
x ² = 7500 ²
| x | = √7500
x = √7500 = 50√3 metros ó x = -√7500 = -50√3 metros

En la siguiente Gráfica 12 se muestran los dos valores:

c) Para determinar si la persona en algún momento se encuentra en un punto de la pista donde el valor de la abscisa x es 110 metros se puede proceder de dos maneras:
La primera es reemplazar x = 110 en la ecuación (100) ² + y ² = 100 ².
Si x = 110 entonces (110) ² + y ² = 100 ²
y ² = 100 ² - (110) ²
y ² = -2100

La ecuación y ² = -2100 no tiene solución en los números reales porque el cuadrado de todo número real es positivo, luego no existen puntos en la pista para los que x = 110 metros.

La segunda forma es observar si en la gráfica de x ² + y ² = 100 ² existen puntos cuyo valor de la abscisa x sea 110 metros. En la Gráfica 13, que se muestra a continuación, se puede ver que no hay intersección entre la recta x = 110 y la circunferencia.
Luego no existen puntos en la pista para los que el valor de la abscisa x sea 110 metros.
d) En la gráfica 14 se indican dos puntos marcados con D y E cuyos valores para x son respectivamente -100 y -70 metros.

El punto D tiene coordenadas (-100, 0) y el punto E tiene coordenadas (-70, y).
Para determinar el valor de la ordenada y del punto E se reemplaza x = -70 en la ecuación x ² + y ² = 100 ².
Si x = -70 entonces (-70) ² + y ² = 100 ²
y ² = 5100
| y | = √5100
y = √5100 = 10√51 ó y = -√5100 = - 10√51

El valor de y negativo no se tiene en cuenta porque es la trayectoria más corta.
Luego las coordenadas del punto D son (-70, 10√51).

Para determinar cuál es el cambio en y, cuando la persona se desplaza desde D hasta E se restan los valores de las ordenadas:
ordenada del punto final – ordenada del punto inicial.
Es decir 10√51 - 0 = 10√51 metros.
e) Si la persona se encuentra en puntos de la pista para los que los valores de la abscisa x ∈ [30, 50], se presentan dos posibilidades: La primera, ver Gráfica 15, si la persona se desplaza de izquierda a derecha; y la segunda, ver Gráfica 16, si lo hace de derecha a izquierda.

Si x = 30 entonces (30) ² + y ² = 100 ²
y ² = 9100
| y | = √9100
y = √9100 = 10√91 ó y = -√9100 = - 10√91

Si x = 50 entonces (50) ² + y ² = 100 ²
y ² = 7500
| y | = √7500
y = √7500 = 50√3 ó y = -√7500 = - 50√3

Si la persona se desplaza de izquierda a derecha, cuando x ∈ [30, 50], entonces y ∈ [50√3, 10√91].
Si la persona se desplaza de derecha a izquierda, cuando x ∈ [30, 50], entonces y ∈ [-10√91, -50√3].
f) En la Gráfica 17 se observa que el conjunto de valores de la abscisa que le corresponde a algún punto en la pista es [-100, 100] metros.

g) En la Gráfica 18 se observa que el conjunto de valores de la ordenada que le corresponde a algún punto en la pista es [-100, 100] metros.

DOMINIO

Definición de Dominio.
Si se tiene una función de un conjunto A en un conjunto B, se denomina dominio de la función al conjunto de todos los elementos pertenecientes al conjunto A.

Los conjuntos A y B que se van a considerar en el tema de funciones van a ser subconjuntos de los números reales, los cuales pueden ser de carácter discreto o continuo y para cada caso finito o infinito.

Dominio en el sistema de representación en tabla.
El dominio en el sistema de representación en tabla suele ser un conjunto de carácter discreto y finito. Para determinar el dominio en una situación presentada en el sistema de representación en tabla, se deben identificar todos los valores del conjunto de partida. En la Situación 1, si se considera sólo la tabla “LISTA DE VALORES POR UNIDADES”, hay una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales desde el 46 hasta el 331, el cual es de carácter discreto y finito.

Dominio en el sistema de representación en gráfica.
En este sistema se pueden presentar dominios representados por conjuntos finitos o infinitos, entre los infinitos se tienen los de naturaleza continua o discreta, mientras que en los finitos sólo la naturaleza es discreta. El dominio en el sistema de representación en gráfica se determina con los valores sobre el eje horizontal que tienen asignada una gráfica.

En la Situación 3, el dominio es el intervalo [1, 11], que es un intervalo de los Números Reales y es infinito.

Dominio en el sistema de representación en fórmula.
De igual forma que en el sistema en gráfica, en este sistema se pueden presentar dominios representados por conjuntos finitos o infinitos. Se debe conocer el origen de la fórmula y las magnitudes que está relacionando. El dominio en el sistema de representación en fórmula se determina analizando en la fórmula los valores reales que se le pueden asignar a la variable que representa los elementos del conjunto de partida, sin olvidar el contexto en el cual se encuentra inmersa la situación. Por ejemplo, si se va a determinar el dominio de la función cuya regla de asignación está dada por la fórmula f(x) = x ², x toma cualquier valor real, siendo el dominio el conjunto de todos los números reales; pero si está fórmula representa el área de un cuadrado cuya longitud de uno de sus lados es x, el dominio es el intervalo (0, +∞).

En la Situación 5, a pesar de que según la fórmula , sin analizar el contexto, se podría tomar como dominio todos los números Reales excepto el cero, (porque en este valor se indetermina la expresión). El dominio es el conjunto de los Números Reales positivos; es decir, el intervalo (0, +∞), ya que x, en el contexto de la Situación, representa distancias.

Dominio en el sistema de representación verbal escrito.
De igual forma que en los dos sistemas anteriores, en este sistema se pueden presentar dominios representados por conjuntos finitos e infinitos de diversa naturaleza. Generalmente en este sistema de representación se conoce el origen de las variables y las magnitudes de las variables que se están relacionando. Para hallar el dominio en el sistema de representación verbal escrito normalmente requiere de una cambio de sistema de representación, cuando se hace el cambio de sistema de representación se analiza de acuerdo con el nuevo sistema sin olvidar el origen de las variables y sus magnitudes. En la Situación 7, el conjunto vuelve a ser de carácter finito y discreto, conformado por los números naturales desde el 1 hasta 50.

Ejemplo:

1. ¿Para cuál de los siguientes valores de x se puede hallar un valor de r(x) ?

Solución:
Para dar solución a esta pregunta, se debe ver para qué valores de x está definida la expresión r(x), se puede observar que los valores que no están son los siguientes: x = 3 y x = 5.8
2. ¿Existen valores de x que estén a una distancia menor que 0.5 de x = 3 de tal forma que se pueda hallar un valor de r(x) ?

Solución:
Se sabe que para x = 3, no existe, para mayores que 3, excepto x = 5 y x = 6, tampoco existe, pero para valores mayores que x = 3 - 0.5 = 2.5 y menores que x = 3, si existe.

3. Si el dominio de la expresión se define como el conjunto de valores que puede tomar x para que el valor de y siempre exista, ¿Cuál es el dominio de la expresión?

RANGO

Definición de Rango.
Si se tiene una función de un conjunto A en un conjunto B, con regla de asignación f, se denomina rango de la función a todos los valores f(x) que pertenecen al conjunto B, donde x pertenece al conjunto A.

De idéntica forma al dominio, el rango en el sistema de representación en tabla suele ser un conjunto de carácter discreto y finito, mientras que en los demás sistemas de representación pueden ser conjuntos de carácter finito o infinito.

En la Situación 1, si se considera sólo la tabla “LISTA DE VALORES POR UNIDADES”, hay una función cuyo rango es el conjunto de números naturales múltiplos de 100 desde 2800 hasta 19500, el cual es de carácter finito. En la Situación 3, el rango es el intervalo [37, 40], que es infinito, en la Situación 5, el rango es el intervalo (0, +∞), que vuelve a ser infinito y en la Situación 7, el rango vuelve a ser un conjunto de carácter finito. La unión de los siguientes conjuntos:

{150000, 300000, 450000, 600000, 750000} ∪ {810000, 945000, ..., 2700000} ∪ {2520000, 2640000, ..., 6000000}

Definición de Variable Independiente.
Los elementos que pertenecen al dominio de la función se suelen llamar variables independientes.

Definición de Variable Dependiente.
Los elementos que pertenecen al rango de la función se suelen llamar variables dependientes.

Ejemplo:

1. ¿Para cuál de los siguientes valores de r(x) se puede hallar un valor de x? r(x) = 1 y r(x) = -0.5

Solución:

Para r(x) = 1 se puede observar que hay un intervalo y dos valores numéricos para los cuales se da esa situación: los x que pertenecen al intervalo -2 ≤ x < 1 y para x = 5 y x = 6.

Para r(x) = -0.5 se puede observar que hay que analizar dos fórmulas de la expresión r(x): -(x - 1) ² + 5 y x - 3, ya que para los otros intervalos r(x) = 1. Para ambas situaciones hay que hallar el valor de x que hace posible que r(x) sea igual a -0.5 y comprobar que se encuentra en el intervalo correspondiente a cada una de las fórmulas.

Para el primer caso se tiene que:

El primer valor de x es mayor que 3 y el segundo menor que -1, luego ninguno de los valores se encuentra en los valores de x correspondientes a la fórmula considerada. Para el segundo caso:

Este valor de x pertenece al intervalo donde la fórmula está definida: 1 ≤ x < 3, luego r(2.5) = 2.5 - 3 = -0.5

2. ¿Existen valores de r(x) que estén a una distancia de 0.25 de r(x) de tal forma que siempre se pueda hallar un valor de x para estos valores de r(x)? 3. Si el rango de la expresión se define como el conjunto de valores que toma la variable r(x) para cualquier valor de la variable x. ¿Cuál es el rango de la expresión?

¿Qué situaciones representan una función?
A continuación se van a considerar diversas situaciones. Para cada situación se harán ciertas observaciones y con base en las observaciones, y los elementos comunes que éstas tengan, se definirá el concepto de Función.

Situación 1
La Secretaría de Tránsito y Transporte de la Ciudad de Cali, a través del decreto N° 0020 del 20 de enero de 2006, estableció las siguientes tarifas básicas para el servicio público de transporte individual municipal (Vehículos tipo Taxi).

La palabra banderazo se refiere a la acción que ejecuta una persona al solicitarle a un taxista que se detenga para la prestación del servicio de taxi. El recargo nocturno corresponde al valor adicional que se cobra cada vez que se solicite un servicio de taxi desde las 21:00 horas hasta las 05:00 horas del día siguiente.

Para registrar el número de unidades en un recorrido se usa un taxímetro con visor–lector. Al encenderse el taxímetro, el visor-lector marca inicialmente 14 unidades las cuales van aumentando de una en una cada 80 metros de recorrido o cada 45 segundos cuando el auto este detenido.

El valor a cobrar por el servicio será el resultante de multiplicar el número de unidades que muestre el visor-lector por el valor de la unidad, aproximado al múltiplo de 100 más cercano. Sin excepción, el motorista de todo vehículo tipo taxi debe portar una tabla de equivalencia entre unidades y valores de la siguiente forma:

Observaciones para la Situación 1
Se puede observar que tanto las unidades como los precios que debe pagar un pasajero por el servicio van variando y que el precio depende del número de unidades que indique el visor lector. Si se toman las unidades como la variable independiente y los precios como la variable dependiente, a cada unidad le corresponde uno y sólo un precio, así en muchas ocasiones coincidan precios para unidades diferentes.

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Situación 3
A una persona que ingresó a una clínica en la madrugada del Lunes se le tomó la temperatura (en °C) a partir de la 1 AM. Con la información obtenida y usando interpolación se construyó la gráfica que se presenta a continuación.

En el eje horizontal cada número corresponde a una hora, por ejemplo el número 1 corresponde a la 1 AM, el 2 a las 2 AM. En el eje vertical cada número corresponde a la temperatura (en °C), por ejemplo el número 37 corresponde a 37°C, 38 a 38°C.

Observaciones para la Situación 3
Aunque la temperatura de una persona dependerá de factores del organismo mismo y no dependerá de las horas en las cuales ésta se toma, para esta situación se ha establecido una correspondencia tal, que cada hora tiene asignada una y sólo una temperatura, así en tiempos diferentes la temperatura sea la misma. Si se establece que el conjunto de partida sea el conformado por todos las horas y el conjunto de llegada las temperaturas, a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo uno del conjunto de llegada.

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Situación 5
Dada una fuente de luz con una de fuerza 16 unidades, como lo muestra Gráfica 9, la intensidad de iluminación, I, en cualquier punto P que esté a una distancia x en centímetros desde la fuente está dada por la expresión: .

Observaciones para la Situación 5
En esta situación se puede observar que si la distancia varía, la intensidad de iluminación varía y que la intensidad de iluminación en un punto P depende de la distancia a la cual se encuentre este punto. Si se toma como variable independiente la distancia, en una única dirección y en un único sentido, a la cual se encuentra el punto P y como variable dependiente la Intensidad de iluminación en el punto, se puede observar que para cada distancia existe una y sólo una intensidad de iluminación.

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Situación 7
Un grupo de personas planea organizar una excursión para sus vacaciones. Los organizadores desean cotizar el costo del transporte y consultar los diversos planes que ofrecen las agencias de viaje. Una de las empresas, que favorecen en el precio del transporte a grupos numerosos, ofrece tres planes para grupos hasta de 50 personas: • Plan A.
Para grupos hasta de 5 personas, el costo es de $150000 por cada pasajero.
• Plan B.
Para grupos desde 6 hasta 20 personas, el costo es de $135000 por cada pasajero.
• Plan C.
Para grupos de más de 20 personas el costo es de $120000 por cada pasajero.

Observaciones para la Situación 7
En esta situación se puede observar que el número de personas que pueden ir a la excursión puede variar y que el costo del transporte depende de la variación del número de personas que viajen. Si se toma la variable independiente como la cantidad de personas que viajarían y como variable dependiente el costo del transporte, se puede observar que a un número determinado de personas le corresponde uno y sólo un valor en el costo del transporte.

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Situación 2
Con base en la tabla que aparece a continuación y donde se establece una relación entre las variables enteras x e y

Observaciones para la Situación 2
La tabla establece una dependencia entre los valores de x y de y; si se toma como conjunto de partida valores correspondientes a x, se puede observar que existen valores de x que les corresponden dos valores de y; por ejemplo, al valor de x = 1 le corresponden los valores y = 1 y y = -1.

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Situación 4

Observaciones para la Situación 4
Si se tiene en cuenta la Gráfica 4 de la Situación 4, se puede observar que si los valores de x cambian, los valores de y también cambian, y establece una relación de dependencia entre x y y. Si se toma como conjunto de partida los valores representados en el eje x que tienen asignado un valor para y, y como conjunto de llegada los valores representados en el eje y que tienen asignado un valor para x, se puede observar que existen valores de x que tiene asignados por lo menos dos valores de y; por ejemplo cuando x es √10 (x = √10) en la situación, le corresponden los valores y = 0 y y = -2

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Situación 6
Sea la expresión:

Observaciones para la Situación 6
Teniendo en cuenta la expresión de la Situación 6, se puede observar que los valores de dependen de los valores que se le asignen a x, y la expresión establece un tipo de dependencia. Si se establece como conjunto de partida el conjunto de valores que se pueden asignar a x y como conjunto de llegada el conjunto de valores que se le pueden asignar a y, se puede observar que existen valores de x que le corresponden dos valores de y; por ejemplo, al valor x = 2.3 le corresponden los valores y = r(2.3) = 3.31 y y = r(2.3) = -0.7

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Situación 8
Una persona camina siguiendo una trayectoria circular en el sentido de las manecillas del reloj, sobre una pista de radio 100 metros, ver Gráfica 10. Si se hace coincidir el origen de un plano cartesiano con el centro de la pista, la ecuación x² + y² = 100² relaciona las coordenadas (x, y) de la posición de la persona en la pista.

Observaciones para la Situación 8
Teniendo en cuenta la Situación 8, se puede observar que la trayectoria de la persona sobre la pista circular se le ha asignado un sistema de referencia, plano cartesiano, donde se puede apreciar que mientras la persona camina sobre la pista, las coordenadas x y y van variando. Si se establece como conjunto de partida el conjunto conformado por los valores de x para cada uno de las puntos que representan la posición de la persona en su trayectoria por la pista y, como conjunto de llegada el conjunto conformado por los valores de y que toma cada punto que representa la posición de la persona en su trayectoria por la pista, se puede observar que existen puntos de la trayectoria donde para un único x le corresponden dos valores de y; por ejemplo cuando x = 0, le corresponden los valores y = -100y y y = 100.

La forma de representación de las situaciones 1 a 8 son diversas, pero básicamente se están representando de cuatro formas: Tabla, Gráfica, Fórmula y Verbal escrita.

Las Situaciones 1, 2 y la pregunta 2 de la Situación 5 (Ver Noción de Función) se presentan en Tabla, las Situaciones 3 y 4 en Gráfica, las Situaciones 5 y 6 en Fórmula, la Situación 7 en Verbal escrito y la Situación 8 combina Verbal escrito, Gráfica y Fórmula.

Las Situaciones 1, 3, 5 y 7 tienen la particularidad que a cada elemento del conjunto de partida o conjunto conformado por los elementos de la variable independiente, le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada o conjunto conformado por los elementos de la variable dependiente; mientras que, las Situaciones 2, 4, 6 y 8 tienen la particularidad que existe por lo menos un elemento del conjunto de partida o conjunto conformado por los elementos de la variable independiente, que le corresponde dos o más elementos del conjunto de llegada o conjunto conformado por los elementos de la variable dependiente.

Las 8 Situaciones representan relaciones, pero por la característica que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, las Situaciones 1, 3, 5 y 7 se les denomina funciones.

En este apartado se definirá FUNCIÓN y esta definición se analizará para cada sistema de representación.

La definición de función para una situación planteada en el sistema de representación en tabla.
En el sistema de representación en tabla, para establecer que una tabla representa una función, hay que tener en cuenta que a cada elemento x de un conjunto A se le asigna exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B, la forma de determinar si la tabla representa una función es la siguiente: primero se establece el conjunto de partida y el de llegada luego, hay que observar que cada elemento del conjunto de partida (previamente establecido), le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada.

En el caso de la tabla, como la Situación 1, la regla de asignación está dada por la misma tabla. Si se toma como conjunto de partida, A, el conjunto de unidades que marca el visor lector, como conjunto de llegada, B, el conjunto de precios correspondientes a las unidades del conjunto A y si se llama f a la regla, se puede apreciar que para cada x de A le corresponde uno y sólo un y = f(x) del conjunto B. En particular, si se chequea para x = 47 y x = 306, f(47) = 2800 ó f(306) = 18100, donde 47 y 306 son elementos del conjunto A, y 2800 y 18100 son elementos del conjunto B. De igual forma se puede chequear para todos y cada uno de los valores ilustrados en la tabla.

En el caso de la tabla de la Situación 2, se puede apreciar que si el conjunto de valores de x se toma como el conjunto de partida y los valores de y como el conjunto de llegada, para el valor x = 1, le corresponden dos valores diferentes: y = 1 y y = -1, que hace que la tabla no represente una función.

La definición de función para una situación planteada en el sistema de representación en gráfica.
Para establecer que gráfica representa una función, hay que tener en cuenta lo siguiente: cómo a cada elemento x de un conjunto A se le asigna exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B, y, convencionalmente, los elementos del conjunto A se representan en el eje horizontal y los del conjunto B en el vertical, basta con trazar líneas verticales y determinar los puntos de intersección de cada línea con la gráfica. Si el corte de cada línea trazada es solamente uno, se verifica que a cada x se le asigna exactamente un f(x), es decir, representa una función. Este proceso se conoce con el nombre de la prueba de la RECTA VERTICAL.

En el caso de la Situación 3, la regla de asignación está dada por la misma gráfica, si se toma como conjunto de partida el conformado por los valores del eje horizontal (Tiempo) que tienen asignada la curva, como conjunto de llegada el conformado por los valores del eje vertical (Temperatura) que tienen asignada la curva y si se llama g a la regla, se puede apreciar que si se trazan rectas verticales o paralelas al eje de la Temperatura, para cada punto t del eje de Tiempo éstas cortan a la curva en un sólo punto, indicando que a este punto sólo le corresponde un valor de la T de la Temperatura. En particular, se puede apreciar que si se trazan rectas verticales para t = 3 y t = 7, T = g(3) = 40 y T = g(7) = 38.5, donde 3 y 7 son elementos del conjunto A conformado por las horas en las cuales se tomó la temperatura de la persona y 40 y 37.5 son elementos del conjunto B conformado por el valor de la temperatura tomada a la persona.

Si para la Situación 4, se realiza el proceso de trazar rectas verticales, se puede apreciar que existen varias partes de la curva donde a un valor de x le corresponden dos valores de y. Por lo tanto, la curva de la gráfica NO representa una función. Pero en la gráfica existen partes de la curva donde al trazar rectas verticales, éstas sólo cortan la curva en un solo punto, en este caso, se puede afirmar que en estas partes de la curva se representa una función. Particularmente se puede afirmar que en [-3, -1) ∪ (-1, 2], la curva representa una función.

La definición de función para una situación en el sistema de representación en fórmula.
Para establecer que en el sistema de representación en fórmula, una expresión representa una función, hay que tener en cuenta que en este sistema de representación la definición de función se traduce de la siguiente manera: Si , entonces , donde y , donde A representa el conjunto de partida y B representa el conjunto de llegada.

Para la Situación 5, la regla de asignación está dada por la expresión: , esta regla de asignación representa una función porque: Si

Esta justificación significa que para cada x del conjunto de partida, A, en este caso el conjunto de valores conformado por los valores de la distancia a la fuente, le corresponde uno y sólo un y = I(X) del conjunto de llegada, B, conformado por los valores de la intensidad de iluminación.

Para la expresión de la Situación 6 no se cumple que sea función porque:
Si , por ejemplo x = 0, se puede apreciar que le corresponden r(0) = 1 y r(0) = -(0 - 1) ²; es decir, r(0) = 0 y r(0) = 4, que no cumple con la definición de función.

La definición de función para una situación en el sistema de representación verbal escrito.
Para establecer que una situación en el sistema de representación verbal escrito representa una función, hay que determinar los conjuntos A y B y la correspondencia entre sus elementos, utilizando un proceso semejante al utilizado en el sistema de representación en tabla.

Para el caso verbal escrito, como la Situación 7, el conjunto de partida, A, esta dado por la cantidad de personas que van a viajar, el conjunto de llegada, B, por el costo total del transporte de acuerdo con el número de personas que viajan y la regla de asignación está dada por medio de la descripción de cada plan, en este caso, si a la regla se la da el nombre de P, se puede apreciar que para cada número de personas que viajen, le corresponde uno y sólo un valor en el costo del transporte. En particular, para 4, 10 ó 25 personas, se tiene que:
P(4) = 4*150000 = 600000, P(10) = 10*135000 = 1350000 y
P(25) = 25*120000 = 3000000

En este caso, 4,10 y 25 pertenecen a un conjunto A conformado por la cantidad de personas que pueden viajar y el conjunto B por el costo de transporte de acuerdo con el número de personas que viajan de acuerdo con el plan que se les puede asociar.

En esta parte se considerará la evaluación de una función en los diversos sistemas de representación.

Evaluación en el sistema de representación en tabla.
Si a la función de la Situación 1 se le da el nombre de f, la evaluación de f para los valores del dominio se encuentra implícita en la tabla y se hace explícita de la siguiente forma: f(48) = 2900, f(65) = 3800, f(195) = 11500, f(317) = 18700, f(330) = 19500, donde f(x) = y, x pertenece al dominio y y pertenece al rango de la función.

Evaluación en el sistema de representación en gráfica.
Si a la función de la Situación 3 se le da el nombre de g, la evaluación de g se encuentra implícita en la curva de la gráfica y se hace explícita de la siguiente forma para un valor del dominio: g(1) = 40, g(3) = 40, g(5) = 38.5, g(9) ≈ 37.8, donde g(h) = T, h pertenece al dominio y T pertenece al rango de la función, y donde, en la gráfica, se ha tomado el valor h sobre el eje horizontal y se ha buscado sobre la gráfica el valor correspondiente de T.

Evaluación en el sistema de representación en fórmula.
La función de la Situación 5 ya tiene asignado un nombre I, la evaluación de I para un valor del dominio se realiza de la siguiente forma:

donde I(x) = y, x pertenece al dominio y representa las distancias y y pertenece al rango de la función y representa la intensidad de iluminación.

Evaluación en el sistema de representación verbal escrito.
Si a la función de la Situación 7 se le da el nombre de h, la evaluación de h para un valor del dominio se realiza de la siguiente forma:

a. Sí el grupo esta conformado por 3 personas, sólo pueden acceder al plan A y el costo total del transporte es de $450000. Por lo tanto, h(3) = 3*150000 = 450000
b. Si el grupo esta conformado por 10 personas, entonces se puede acceder al plan B y el costo total del transporte es de $1350000.
h(3) = 10*135000 = 1350000 c. Si van a la excursión 25 personas, entonces el grupo puede acceder al plan C y el costo total del transporte es de $3000000.
h(3) = 25*125000 = 3000000

donde en h(x) = y, x pertenece al dominio y representa el número de personas que van a viajar y y pertenece al rango de la función y representa el costo total del transporte de las personas que van a viajar.