El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional caracterizado por dos ejes X  e Y   que se cortan perpendicularmente en un punto llamado origen, el cual queda dividido en cuatro sectores llamados cuadrantes. Es decir, el plano cartesiano consta de cuatro sectores llamados cuadrantes y dos ejes, ver Gráfica 1.


Cada punto P   del plano se puede representar con dos coordenadas ( x, y ),  donde x   es la coordenada sobre el eje X   de A  que es la proyección de P  sobre el eje X   y y  es la coordenada sobre el eje Y   de B  que es la proyección de P   sobre el eje Y  (ver Gráfica 2).

De acuerdo con lo anterior las características del plano son las siguientes:
I. En el primer cuadrante ambas coordenadas son positivas
II. En el segundo cuadrante x es negativa mientras que y es positiva
III. En el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas
IV. En el cuarto cuadrante x es positiva mientras que y es negativa
V. Sobre el eje x, el valor de la coordenada y es cero
VI. Sobre el eje y, el valor de la coordenada x es cero


Ejemplo 1
Determine el cuadrante o eje donde se encuentra cada uno de los siguientes puntos: A( -3, 1 ), B( 2, 4 ), C( -3, -2 ), D( 5, -1 ), E( 0, -1 ) y F( 5, 0 ).

Solución:
De acuerdo con la clasificación de los cuadrantes, el punto B( 2, 4 ) tiene ambas coordenadas positivas por lo que se puede afirmar que se encuentra en el primer cuadrante; el punto A( -3, 1 ) tiene la primera coordenada negativa y la segunda positiva, lo cual hace que se encuentre en el segundo cuadrante; para C( -3, -2 ) ambas coordenadas son negativas y por lo tanto, lo ubicamos en el tercer cuadrante y dado que D( 5, -1 ) tiene la primera coordenada positiva y la segunda negativa, se puede afirmar que se encuentra en el cuarto; finalmente para los puntos E y F, puesto que una de las coordenadas es cero, los ubicamos sobre uno de los ejes: el punto E sobre el eje y, y el punto F sobre el eje x.


Ejemplo 2
Ubique en el plano cartesiano cada uno de los siguientes puntos: A( -3, 1 ), B( 2, 4 ), C( -4, -2 ), D( 5, -1 ), E( 0, -1 ) y F( 5, 0 ).

Solución:
Para ubicar un punto sobre el plano se toma el valor de la primera coordenada "x"  sobre el eje X,  y el valor de la coordenada sobre el eje Y.  Se traza una línea vertical desde el corte "x"   y una línea horizontal desde el corte "y".  El punto quedará ubicado en la intersección de éstas líneas. En la Gráfica 3 se puede apreciar la ubicación de cada uno de los puntos.


El trazo de la gráfica de una función se puede realizar a partir de una tabla de valores x, y   o a partir de una fórmula y = f( x ). Si se tiene una tabla, se ubican sobre el plano cartesiano todos y cada uno de los puntos y si se tiene una fórmula se construye una tabla.

Dados los valores x e y de una función en una tabla, se ubican sobre un plano de coordenadas todos y cada uno de los puntos ( x, y ), los cuales conformarán la gráfica de la función.

En la tabla siguiente se tienen relacionados los valores de siete parejas ( x, y ) para los cuales se quiere obtener la gráfica:


Si la función está formada únicamente por estos siete puntos, la gráfica respectiva estará formada por los puntos del plano ( x1, y1 ), ( x2, y2 ), ( x3, y3 ), ( x4, y4 ), ( x5, y5 ), ( x6, y6 ), ( x7, y7 ). Este caso se ilustrará la situación con algunos valores escogidos al azar (ver Gráfica 4)

Ejemplo 3
Realizar la gráfica de la función dada por la tabla siguiente:


Solución:
La gráfica está formada por los puntos del plano ( -1, 3 ), ( 3/2, 4 ), ( 4, 0 ), ( 6, 5 ), y ( 8, 2 ). (ver Gráfica 5).


Ejemplo 4
Realizar la gráfica de la función dada por la tabla siguiente:


Solución:
Para trazar la gráfica es necesario ubicar los puntos ( -1, 3 ), ( 2, -2 ), ( 3, -1 ), ( 4, 0 ), ( 5, -1 ), ( 6, -2 ) y ( 7, -3 ) sobre el plano (ver Gráfica 6). Este tipo de gráfica se dice es discreta

La gráfica de una función con regla de asignación y = f(x), denotado por Gf es el conjunto de puntos del plano cartesiano donde las coordenadas ( x, y ) están relacionadas por la regla de asignación y = f(x), es decir, Gf = { ( x, y ) ∈ R * R : y = f(x) }. Un punto ( x, y ), pertenece a la gráfica de una función f, si está relacionado con y mediante la relación f . (ver Gráfica 7).


Ejemplo 5
Realizar la gráfica de la función y = f(x) = x, con x ∈ R .

Solución:
Para obtener la gráfica de la función y = f(x) = x, se construye una tabla de valores donde se relaciones las variables x y y, teniendo en cuenta el dominio de la función para los valores de x, en este caso todos los reales, luego, se unen ordenadamente dichos puntos por un trazo ininterrumpido.


En la tabla se puede observar que los valores de x   son iguales a los de y,  por tanto los puntos de la gráfica tendrán los mismos valores para ambas variables. Por esta razón es suficiente con cuatro puntos para saber cuál es el comportamiento del resto de puntos.

Observe que la Gráfica 8 corresponde a una línea recta infinita a pesar de no haber graficado sobre el plano más de cuatro puntos.


Ejemplo 6
Realizar la gráfica de la función f(x) = | x |, con x en los números naturales.

Solución:
Se debe hacer una tabla que relaciones los valores de x   con los de   y, pero teniendo en cuenta que x   debe ser un número natural.


La gráfica estará conformada por los puntos donde x y y son iguales, pero el hecho de que el dominio de la función sea los naturales, el trazo de la gráfica no será continuo. A estas gráficas se dice son discretas, ver Gráfica 9.


Ejemplo 7
Realizar la gráfica de la función y = x ², con el dominio x ≥ 0.

Solución:
Para trazar la gráfica de la función, se hallan algunos puntos en particular. Se pueden consignar en una tabla, teniendo en cuenta el dominio de la función.


Se pueden tomar los valores que se deseen del dominio de la función, para evaluar su imagen. En este caso se escogieron 0, 1, 2, 5/4, y 4.
Puesto que el dominio es un conjunto de números reales, luego de ubicar los puntos ( 0, 0 ), ( 1, 1 ), ( 2, 4 ), ( 5/4, 25/4 ) y 4, se traza una línea continua indicando el resto de la gráfica.

La gráfica asociada a la función y = x ² en los reales es una parábola, en este caso, sólo se toma el lado derecho, pues es ahí donde x ≥ 0, ver Gráfica10.


Ejemplo 8
Realizar la gráfica de la función f( x ) = | x + 3 | con su dominio natural.

Solución:
Primero se construye una tabla donde se relacionen los valores de x  y  f( x ) = | x + 3 |


Luego se ubican los puntos sobre el plano cartesiano y como f( x ) = | x + 3 | está definida para todos los números reales, se unen los puntos para obtener la gráfica, ver Gráfica11.


Ejemplo 9
Realizar la gráfica de la función f( x ) = - √x + 5, con su dominio natural.

Solución:
Teniendo en cuenta el dominio de la función, en este caso el conjunto de números reales para los cuales la variable x  es mayor o igual que -5, se construye una tabla con algunos de esos valores fáciles de evaluar, aunque su dominio sean los reales.


Al ubicarlos en el plano cartesiano y unir los puntos se obtiene la Gráfica 12.

En muchos problemas cotidianos, como por ejemplo las situaciones iniciales para adentrar al concepto de función, (el pago de servicio de taxi) se tienen funciones cuyas reglas de asignación se caracterizan por varias fórmulas con un determinado dominio.

En este apartado se construirá la gráfica de una función definida a trozos partiendo de su fórmula.


Ejemplo 10
Dada la función , realizar su respectiva gráfica.

Solución:
Para realizar la gráfica de este tipo de funciones se debe tener presente la fórmula apropiada para cada valor particular de la variable x.  Para este caso se tiene que el dominio de la variable x  son todos los números reales, puestos que en el primer trozo la variable toma todos los valores menores o iguales a 1, es decir el intervalo ( -∞, 1]  y en el segundo trozo toma todos los valores mayores que 1, es decir el intervalo ( 1, ∞ ) .

Por ejemplo si la variable x  toma el valor de cero, ( x = 0 ) entonces su imagen f( 0 ) = 2, puesto que el valor de x = 0 ≤ 1 (x menor o igual que 1) y se tiene que evaluar en el primer trozo, si la variable x toma el valor de tres punto cinco, ( x = 3.5 ) entonces su imagen f( 3.5 ) = 5 puesto que el valor de x = 3.5 > 1 (x es mayor que 1) y se tiene que evaluar en el segundo trozo. Para cualquier valor de la variable x ≤ 1 su imagen siempre será constante f( x ) = 2 en particular f ( 1 ) = 2, para cualquier valor de la variable x > 1 su imagen, siempre será constante f ( x ) = 5. Por lo tanto la Gráfica 13 es su respectiva gráfica.



Ejemplo 11
Dada la función , realizar su respectiva gráfica.

Solución:
Para realizar la gráfica de f( x ) se observa que la función está definida en dos trozos, el primer trozo la variable x  toma valores reales pertenecientes al intervalo cerrado [ -3, 0 ]. Un valor de x  que se puede tomar en este trozo es x = -0.5 cuya imagen mediante la regla de asignación de f es f( -0.5 ) = ( -0.5 ) ² - 1 = -0.75 = -3/4 y este mismo proceso se efectúa para todos los valores del intervalo cerrado [ -3, 0 ] y así trazar la fracción o pedazo de la gráfica comprendida en dicho intervalo, que en este caso corresponde a una fracción de parábola, seguidamente se hace el estudio del segundo trozo donde se observa que la variable x toma valores reales pertenecientes al intervalo abierto ( 0, 1 ).

Un valor de x  que se puede tomar en este trozo es x = 0.5 cuya imagen mediante la regla de asignación de f es f( 0,5 ) = -0.5 = -½. Este mismo proceso se efectúa para todos los valores del intervalo abierto ( 0, 1 ) y así trazar la fracción o pedazo de la gráfica comprendida en dicho intervalo.

En este caso corresponde a una parte de recta Por último para trazar la gráfica completa de la función se reflexiona detenidamente en las imágenes mediante la función f  de los valores de x = 0  y  x = 1 se puede observar que la imagen de x = 0 se calcula en el primer trozo, es decir f( 0 ) = -1 y la función no está definida en x = 1, y se puede observar que el dominio de la función f  es la unión de los intervalos donde está definida cada trozo, en este caso. El dominio de f es [ -3, 0 ] ∪ ( 0, 1 ) = [ -3, 1 ). Por lo tanto la Gráfica 14 es la correspondiente gráfica de la función f.



Ejemplo 12
Realizar la gráfica de la función .

Solución:
Siguiendo el proceso ilustrado en los dos ejemplos anteriores se tiene que la función g está definida en dos trozos: un primer un trozo para valores de la variable x menores que cero ( x < 0 ) , es decir donde x es negativo o  x ∈ ( -∞, 0 ) , por lo tanto la imagen de todo número negativo es el opuesto, como por ejemplo: g( -√2 ) = -( -√2 ) = √2,  y así la correspondiente fracción de la gráfica en el primer trozo es la recta y = -x,  si x < 0.  Análogamente se estudia el segundo trozo de la gráfica de la función g en el cual la variable toma valores positivos y el valor cero, la imagen de cualquier x ≥ 0   es el mismo valor x, por ejemplo g( π ) = π,   siendo su gráfica en este trozo la recta y = x, si x ≥ 0.
La función g es conocida como la función valor absoluto y se puede reescribir de la siguiente manera: g( x ) = | x | cuyo dominio son todos los números reales y su gráfica es la Gráfica 15.



Ejemplo 13
Realizar la gráfica de la función .

Siguiendo el proceso ilustrado en los ejemplos anteriores se tiene que la función f  está definida en tres trozos: un primer un trozo para valores de la variable x  menores que cero ( x < 0 ),  es decir, donde x  es negativo o x ∈ ( -∞, 0 ) , por lo tanto la imagen de todo número negativo es el mismo número más dos, como por ejemplo: f( -√2 ) = -( -√2 ) + 2,  y así la correspondiente fracción de la gráfica en el primer trozo es la porción de recta y = x + 2,  si  x < 0.
Análogamente se estudia el segundo trozo de la gráfica de la función f  en el cual la variable toma valores reales en el intervalo [ 0, 2 ], por lo tanto la imagen de cualquier 0 ≤ x ≤ 2 es el cuadrado del mismo número x , por ejemplo f(1) = 1² = 1, f(0) = 0² = 0   siendo su gráfica el trozo de parábola y = x ²  comprendida en el intervalo [ 0, 2 ]. Y por último, el tercer trozo de la función f  toma los valores reales estrictamente mayores que dos y la función es constantemente 4, su gráfica es una recta paralela al eje X, a partir de x > 2.  Por lo tanto la Gráfica 16 es la de la función f.



Definición
Si la regla de asignación de una función y = f( x )  está definida por varias expresiones para diferentes subconjuntos de su dominio, se dice, que la función está definida a trozos.

En este cambio de representación se considera que es posible hallar una fórmula que represente la función descrita en el lenguaje natural. A partir de la fórmula se obtiene su representación gráfica.


Ejemplo 14
De un alambre de 10 cm de longitud, se cortan x cm a partir de un extremo. Con el pedazo que mide x cm se forma un cuadrado y con el otro se forma una circunferencia. Sea S la función sumas de las áreas de las dos figuras formadas. Graficar la función S.

Solución:
Para hacer la gráfica de la función S hay que hallar una fórmula que la represente y para ello, se sugiere hacer una representación icónica de la situación planteada, ver Gráfica 17.



Se supone que el alambre al cual se le partió en dos trozos, uno de los cuales mide x cm, el otro debe medir 10 - x cm. Si no corta nada, x = 0 o x = 10. Si x = 0 con todo el alambre hará un círculo y si x = 10 con todo el alambre hará un cuadrado. Así, x ∈ [ 0, 10 ] es el dominio de la función S que es equivalente al conjunto { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 10 }.

Si con el trozo de longitud x cm se construye un cuadrado, el perímetro del cuadrado es x = 4l donde l es el lado del cuadrado formado, por tanto y con el trozo de longitud 10 - x cm se hace una circunferencia, luego 10 - x = 2 π r, por tanto . (Ver Gráfica 18).


El área del cuadrado es: y el área del círculo es . Por lo tanto la función área S en términos de la variable x es la suma de las dos áreas, es decir:


Simplificando la última expresión se tiene, con x ∈ [ 0, 10 ] y tiene como gráfica una parábola que aparece dibujada en la Gráfica 19.


Ejemplo 15
Un hombre está de pie en el punto A en la orilla de un río recto de 2 millas de ancho, y desea alcanzar el punto B que está a 7 millas corriente abajo sobre la orilla opuesta, primero remando en su barca a un punto P de la orilla opuesta y después caminando la distancia restante x hasta B. Puede remar a 2 millas/h y caminar a 5 millas/h. Dibujar la gráfica de la función f, siendo f la función tiempo total que necesita el hombre para ir de A hasta B.

Solución:
En principio para hallar la gráfica de la función pedida se sugiere hacer un bosquejo que ilustre la situación dada


Con ayuda de la Gráfica 20 se halla la representación algebraica de la función f.

Sea tr el tiempo que invierte el hombre remando desde el punto A al punto P. Recuerde que , por tanto, .

Utilizando el teorema de Pitágoras (ver Gráfica 21) se tiene que . Sea tc el tiempo que invierte el hombre caminando desde el punto P al punto B, luego . Por lo tanto el tiempo total es la suma de los tiempos que rema y camina. Así se tiene la siguiente expresión:

El dominio de f es el conjunto: { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 7 } que es equivalente a x ∈ [ 0, 7 ]. Después de encontrar la representación algebraica se hace su respectiva gráfica, la cual está en la Gráfica 22.