Muchos datos en la realidad resultan ser la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra, por ejemplo, si un móvil de desplaza a una velocidad de 80 km/h, la información que trae es que por cada hora el se desplaza 80 km o lo mismo que decir que 80 km los recorre en una hora. En general la velocidad con que un móvil se desplaza es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo, la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Un conductor de un bus cobra $1300 por persona implica que si registran 3 personas debe recibir $3900 y si registran 10 personas debe recibir $13000. Lo mismo ocurre cuando se comprar en un supermercado.
Ejemplo 1
Si se compran 3 libros de un mismo ejemplar la factura da $14100 y si se compran 8 ejemplares la factura da $37600. ¿Cuál es la razón de cambio del precio con respecto a la cantidad de libros?
Solución:
El cambio de precio es $37600 - $14100 = $23500 y el cambio de cantidad de ejemplares es 8 - 3 = 5, lo que implica que la razón de cambio de precio con respecto a la cantidad de ejemplares es 
. Lo que indica que hay que pagar $4700 por cada ejemplar.
Dos cosas caracterizan una relación lineal es que su gráfica siempre es una línea recta y la razón de cambio de las ordenadas o variable dependiente con respecto al cambio de las abscisas o variable independiente es constante. A esta razón de cambio se le llama pendiente.
Ejemplo 2
Halle la pendiente de la relación lineal de la Gráfica 1.
Solución:
De la Gráfica 1 se observa que la línea recta pasa por los puntos (-4, 4), (-2, -1), (0, 2), (2, 5) y (4, 8) de manera exacta. Tomando cualquier par de estos puntos, por ejemplo, (-4, -4,) y (-2, -1) se obtiene que el cambio de las ordenadas es -4 - (-1) = -4 + 1 = -3 y el cambio de las abscisas es -4 - (-2) = -4 + 2 = -2, luego la razón de cambio de las ordenadas con respecto al cambio de las abscisas es -3/-2 = 3/2. Esta razón de cambio dice que si la variable independiente cambia en dos unidades, la variable dependiente cambia tres.
Ahora se calculará la pendiente con los puntos (-2, -1) y (2, 5). El cambio de la variable dependiente es 5 - (-1) = 5 + 1 = 6. El cambio de la variable independiente es 2 - (-2) = 2 + 2 =4. Por tanto, la razón de cambio de la variable dependiente con respecto al cambio de la variable independiente es 6/4 = 3/2. No importa que par de puntos tome en la recta, la pendiente es constante y en este caso igual a 3/2.
De manera práctica la pendiente indica como cambia la variable dependiente con respecto a un cambio en la variable independiente. Si los puntos
y 
se relacionan de manera lineal entonces la pendiente es 
.Si además el punto C(x, y) está en relación lineal con
y 
, se cumple que A y B, de donde se obtiene la ecuación punto-pendiente de una relación lineal 
. Esta relación lineal se llama ecuación de la recta porque su gráfica es una línea recta y la ecuación se puede transformar en y = mx + b.
Ejemplo 3
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (4, 5).
Solución:
Se debe encontrar la pendiente primero, la cual es, 
. La pendiente indica que por tres unidades de aumento en x, la y aumenta una unidad.
Reemplazando en la ecuación es 
, se tiene 
. Despejando y se obtiene 
. Así, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (4, 5) es 
y su correspondiente gráfica es la Gráfica 2.
Una función es lineal si su regla de asignación tiene la forma f(x) = mx + b y su gráfica es una línea recta. En la ecuación, m es la pendiente de la recta y b es el corte de la recta con el eje y, ver Gráfica 3.
En el caso que x2 = x1 se tiene una recta vertical y la gráfica no sería la de una función, ver Gráfica 4.
Ejemplo 4
Encuentre la relación lineal que existe entre las escalas Fahrenheit y Celsius si se sabe que 0°C equivalen a 32°F y que 5°C equivalen a 41°F.
Solución:
Como la relación es lineal los puntos (0,32) y (5,41) pertenecen a una línea recta con eje horizontal las temperaturas en grados Celsius y eje vertical las temperaturas en grados Fahrenheit.
La pendiente es 
.
La pendiente indica que por 5°C de aumento, se incrementa 9°F.
La relación lineal que existe entre las escalas Fahrenheit y Celsius es 
y su gráfica es Gráfica 5.
Ejemplo 5
Una empresa que produce de zapatos hizo un estudio y concluyó que por cada par de zapatos producido por la empresa se va en promedio $15000 en materia prima. Por arriendo, servicios públicos y empleados se paga en promedio semanalmente $575000.
a. ¿Cuál es el gasto en una semana que no tenga producción?
b. ¿Cuál es el gasto en una semana donde se producen 250 pares de zapatos?
c. Encuentre una expresión que indique el costo en que incurre la empresa al producir x pares de zapatos semanalmente.
Solución:
a. Si la empresa no produce nada durante la semana, seguirá pagando el arriendo, los servicios públicos y a los empleados, por tanto el gasto será de $575000.
b. Como por cada par de zapatos el costo es de 15000, si produce 250 el costo es de 15000*250, es decir de, $3750000. Pero como el arriendo, los servicios públicos y a los empleados hay que pagarles. El gasto total por semana será de $3750000 + $575000 = $4325000.
c. Si la empresa produce x pares de zapatos a la semana, el costo de producción será de 15000x y el costo total por semana será de : C(x) = 15000x + 575000
donde su dominio será el conjunto de los números naturales incluido el cero y su gráfica correspondiente es la Gráfica 6
Ejemplo 6
La tapa del casco de los caballos crece como crecen las uñas de su mano. Se desgasta a medida que el animal camina. Cuando los animales pasean o trabajan en superficies duras, como cemento, asfalto y caminos montañosos, el casco puede desgastarse más rápidamente de lo que crece. En este caso el herrado protege el casco. Si se hierra un animal, las herraduras deben quitarse cada seis semanas para poder eliminar el crecimiento extra del casco. En condiciones normales el casco crece hasta 1 cm. cada mes. Suponga que hoy se acaba de herrar un caballo dejando una tapa de 0.3 cm.
a. Si t representa los días transcurridos después de herrar al caballo, ¿Cuánto mide la tapa del casco cuando t=0?
b. Si se considera que un mes tiene 4 semana, ¿Cuánto mide la tapa del casco cuando t=28 días?
c. Si T es la medida de la tapa del casco, encuentre una expresión que relacione el tamaño de la tapa del casco con respecto al tiempo t medido en días.
d. ¿Cuánto medirá la tapa del casco cuando vuelvan a herrar el caballo?
Consultada en http://www.relinchando.com/Didacticos/Cuidados
Solución:
a. Si t representa los días transcurridos después de herrar al caballo, entonces t=0 es el día en que lo hierran y por tanto la tapa del caso mide 0.3 cm.
b. Si un mes tiene 4 semanas, también tiene 28 días y como la tapa crece 1 cm al mes implicaría que después de 28 días la tapa del casco ha crecido 1 cm. Como inicialmente mide 0.3 cm entonces 28 días después mide 1.3 cm.
c. Se observa que la relación entre T y t es lineal porque la tapa del casco crece 1 cm cada mes, es decir crece 1/28 cm cada día. La expresión que relaciona las variables es de la forma T(t) = mt + b donde la pendiente es m = 1/28 y b = 0.3. Por tanto, T(t) = 1/28t + 0.3 para 0 ≤ t 42 y su gráfica es la Gráfica 7.
d. Al caballo lo herrarán dentro de 6 semanas, es decir 42 días, por tanto T(42) = 1/28(42) + 0.3 = 1.5 + 0.3 = 1.8. La tapa del casco medirá 1.8 cm.
Diversas situaciones en la vida cotidiana, en la economía, en la ecología, en la demografía, en la geometría, en las matemáticas, en la física, en la ingeniería, etc, requieren para su modelación el uso de la función lineal y=kx. Esta fórmula permite calcular nuevos valores de y correspondientes a valores de x comprendidos en un conjunto de datos.
Ejemplo 7
Suponga que la Tabla 1 muestra los datos de una experiencia de laboratorio, donde se aplican varias fuerzas horizontales a una masa determinada y se miden los cambios de velocidad que experimenta la masa:
a. Construya la gráfica de Cambios de Velocidad en función de la Fuerza.
b. Escriba la ecuación que relacione las variables.
c. Encuentre la constante de la ecuación de la fórmula.
d. Encuentre los Cambios de Velocidad para Fuerza de: 3.5N, 16N, 27N.
Solución:
a. Usando los datos de la Tabla se tiene el registro gráfico de los Cambios de Velocidaden función de la Fuerza, ver Gráfica 8.
La manera como quedan distribuidos los datos en el plano cartesiano, sugiere que ellos hacen parte de una línea recta que pasa por el origen:
b. Teniendo en cuenta lo que ocurre con los datos y simbolizando las variables Cambios de Velocidad por C y Fuerza por F, la ecuación que relaciona estas variables representa un modelo de función lineal de la forma C=kF.
c. La constante k es la pendiente de la función lineal C=kF, y los puntos
y 
pertenecen al registro gráfico de esta relación lineal, entonces 
. d. Con el valor de k el modelo de función lineal que relaciona las variables Cambios de Velocidad C y Fuerza por F es C = 0.98F. Usando esta fórmula se pueden hallar nuevos cambios de velocidad correspondientes a fuerzas comprendidas entre 0 y 30 Newton.
Para una Fuerza de 3.5 Newton, el Cambio de Velocidad es
Para una Fuerza de 16 Newton, el Cambio de Velocidad es
Para una Fuerza de 27 Newton, el Cambio de Velocidad es
Con los anteriores valores se puede ampliar la tabla 1 de datos del experimento a la Tabla 2:
En la tabla 2, los valores de la variable Cambios de Velocidad se obtienen multiplicando cada valor de la variable Fuerza por la constante 0.98. En este caso se dice que 0.98 es una constante de proporcionalidad y que la variable Cambios de Velocidad es proporcional a la variable Fuerza.
Definición
Se dice que una variable y varía directamente ó es proporcional a otra variable x si existe una constante de proporcionalidad k, tal que y=kx. La gráfica de esta ecuación es una línea recta con pendiente k que pasa por el origen.
Ejemplo 8
El costo de imprimir una revista es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al número de revistas impresas.
a. Escriba una ecuación para esta variación conjunta si el costo de impresión es de 60000 dólares para 4000 copias de una revista de 120 páginas.
b. ¿Cuál es el costo de impresión para 5000 copias de una revista de 92 páginas?
Solución:
a. Sean C el costo de imprimir una revista, P el número de páginas y R el número de revistas impresas. Si C es conjuntamente proporcional tanto a P como R se tiene la ecuación C=kPR, donde k es la constante de proporcionalidad.
Cuando el costo de impresión es de 60000 dólares para 4000 copias de una revista de 120 páginas se tiene 60000 = k(120)(4000), es decir, la constante de proporcionalidad es 
. Por lo tanto, la ecuación de variación conjunta es 
.
b. Usando la ecuación , el costo de impresión para 5000 copias de una revista de 92 páginas es 
dólares.
La velocidad de propagación de un Tsunami (palabra japonesa que denomina a una gran ola que irrumpe en un puerto) depende de la profundidad oceánica y se calcula mediante la fórmula:
v = √gd
donde g es una constante que mide la aceleración de gravedad ( 9.81 m/s² ) y d la profundidad del fondo marino.
Las ondas sísmicas producidas en los terremotos son de diversas clases, y hay dos que atraviesan la Tierra que son importantes: las transmitidas por vibraciones en la dirección de propagación de la onda sísmica denominadas ondas primarias P u ondas longitudinales y las que se desplazan en sentido transversal a la onda sísmica llamadas ondas secundarias S porque se desplazan a menor velocidad que las ondas P.
Para calcular la velocidad de propagación de las ondas P y S se utilizan las fórmulas:
es otra constante que mide la rigidez y cuyo valor para un material depende de la deformación; 
es la densidad del medio de propagación. Las anteriores fórmulas corresponden a un tipo especial de función llamada función radical.
Ejemplo 9
El período de un péndulo es el tiempo transcurrido en una oscilación completa del péndulo y varía directamente con la raíz cuadrada de la longitud del mismo.
a. Exprese esta relación escribiendo una función radical. b. ¿Cuánto se tendría que modificar la longitud del péndulo para duplicar su período?
Solución:
a. Sean T y L respectivamente el período y longitud del péndulo. Como T varía directamente con la raíz cuadrada de L la fórmula que relaciona estas variables es T = k √L, donde k es la constante de proporcionalidad ( k ≠ 0).
b. Para saber en cuánto se debe modificar la longitud del péndulo si el periodo se duplica, se debe tener L en términos del período, por lo tanto, de la fórmula T = k √L se despeja L obteniéndose la expresión
. A continuación, se sustituye T por 2T en la expresión y se deduce que
. De esta última expresión se infiere que al duplicar el periodo la longitud del péndulo debe ser cuatro veces su longitud original.
En las llamadas por celular algunos establecimientos cobran a $300 pesos el minuto o fracción de él. Eso implica que si una llamada dura 8:13 minutos debe cancelar $2700 que equivale a haber llamado 9:00 minutos. Lo mismo ocurre en los parqueaderos o en los sitios de Internet.
En estos casos la función costo se puede representar mediante funciones denominadas función menor o mayor entero.
La función menor entero de cualquier número x es el menor entero mayor o igual a x. Esta función se denota mediante el símbolo [ x ].
Así por ejemplo:
[ 3 ] = 3, pues 3 ≤ 3;
[ 3.2 ] = 4, pues 3 < 3.2 ≤ 4;
[ 3.9 ] = 4, pues 3 < 3.9 ≤ 4;
[ 0.7 ] = 1, pues 0 < 0.7 ≤ 1;
[ 0.5 ] = 1, pues 0 < 0.5 ≤ 1;
[ 0.08 ] = 1, pues 0 < 0.08 ≤ 1;
[ -0.5 ] = 0, pues -1 < -0.5 ≤ 0;
[ -0.7 ] = 0, pues -1 < -0.7 ≤ 0;
[ -0.08 ] = 0, pues -1 < -0.08 ≤ 0;
[ -1.3 ] = -1, pues -2 < -1.3 ≤ -1;
[ -2.1 ] = -2, pues -3 < -2.1 ≤ -2;
[ √2 ] = 2, pues 1 < √2 ≤ 2;
[ -√2 ] = -1, pues -2 < -√2 ≤ -1;
La función mayor entero (denominada también función parte entera) de cualquier número x es el mayor entero menor o igual a x. Esta función se denota mediante el símbolo [[ x ]].
Así por ejemplo:
[[ 3 ]] = 3, pues 3 ≤ 3;
[[ 3.2 ]] = 3, pues 3 < 3.2 ≤ 4;
[[ 0.5 ]] = 0, pues 0 < 0.5 ≤ 1;
[[ 0.08 ]] = 0, pues 0 < 0.08 ≤ 1;
[[ -0.5 ]] = -1, pues -1 < -0.5 ≤ 0;
[[[ -0.08 ]] = -1, pues -1 < -0.08 ≤ 0;
[[ -1.3 ]] = -2, pues -2 < -1.3 ≤ -1;
[[ √2 ]] = 1, pues 1 < √2 ≤ 2;
[ -√2 ]] = -2, pues -2 < -√2 ≤ -1;
La Gráfica 9 corresponde a la gráfica de la función parte entera
Observe que el registro gráfico está formado por varios segmentos de recta o trozos que no están interconectados y dispuestos en forma de escalón. Además en cada trozo no se incluye el extremo superior.
Ejemplo 10
Halle el costo de utilizar t horas un lugar de estacionamiento, pagando $1200 por cada hora o fracción de hora.
Solución:
Sea C(t) el costo de utilizar t horas un lugar de estacionamiento. De la información dada y con la ayuda de la función menor entero se tiene que:
- Si se utiliza el lugar de estacionamiento una hora o menos de una hora, entonces 0 < t ≤ 1 y [ t ] = 1. Luego el costo C(t) = 1200[ t ] = 1200 * 1 = 1200.
- Si se utiliza el lugar de estacionamiento dos horas o una fracción de tiempo entre una y dos horas, entonces 1 < t ≤ 2 y [ t ] = 2. Luego el costo C(t) = 1200[ t ] = 1200 * 2 = 2400.
- Si se utiliza el lugar de estacionamiento tres horas o una fracción de tiempo entre dos y tres horas, entonces 2 < t ≤ 3 y [ t ] = 3. Luego el costo C(t) = 1200[ t ] = 1200 * 3 = 3600.
- Si se utiliza el lugar de estacionamiento cuatro horas o una fracción de tiempo entre tres y cuatro horas, entonces 3 < t ≤ 4 y [ t ] = 4. Luego el costo C(t) = 1200[ t ] = 1200 * 4 = 4800.
- y así sucesivamente...
Es decir,
La Gráfica 10 corresponde a la gráfica de la función C(t)
Diversas situaciones en la vida cotidiana presentan magnitudes inversamente proporcionales:
- El número de obreros y el tiempo para realizar una obra (más obreros, menos tiempo).
- Las horas diarias de trabajo y los días que se trabaja (más horas, menos días).
- La rapidez y el tiempo (a mayor rapidez, menor el tiempo para recorrer una distancia) o (a menor rapidez mayor el tiempo para recorrerla).
- Si la temperatura de un gas en un recipiente es constante entonces la presión del gas varía inversamente con su volumen (a mayor presión menor volumen).
- La iluminación que produce una fuente luminosa varía en forma inversa con el cuadrado de la distancia (entre más alejados estemos de la fuente, menos iluminación nos llega).
- Si el área de un rectángulo es constante, entonces el largo del rectángulo varia inversamente con el ancho (si la longitud del largo es grande entonces la longitud del ancho debe ser pequeña, para que su área permanezca constante).
Definición
Dos variables x, x son inversamente proporcionales si están relacionadas por la ecuación xy = constante = k , k ≠ 0 ó equivalentemente si 
ó 
Entonces, se dice, que y es inversamente proporcional a x, o que x es inversamente proporcional a y.
Asimismo, y varía inversamente proporcional con la potencia n de x, si existe un número real k tal que 
o equivalentemente 
con 
Ejemplo 11
Muestre que a y b (a y b diferentes de cero), son inversamente proporcionales si ab = 28.
Solución:
Si a se multiplica por √3, y b se divide por √3, se observa que el producto ab sigue siendo 28, luego las variables a y b son inversamente proporcionales, es decir, que si a se multiplica por un número real positivo r, b inmediatamente queda dividido por ese mismo número real positivo r, para que el producto ab siga constante. Consideremos otro número, por ejemplo, si r = 0.6 multiplica al valor de a entonces b se debe dividir por r = 0.6 para que el producto ab siga siendo 28, es decir, 
Si el valor de a = 4, entonces para hallar el valor de b, se despeja de la expresión original ab = 28 y se obtiene 
por lo tanto ab = 4 * 7 = 28.
Ejemplo 12
¿Las variables x ² en la expresión 
, con x ≠ 0 son inversamente proporcionales?
Solución:
La expresión , equivale a la expresión y x ² = 1. Si se duplica, por ejemplo, la variable x entonces la nueva x, que se puede simbolizar x ', está dada por x ' = 2x. Para obtener la nueva y, que se puede simbolizar y ', se despeja de la expresión original y ' x ' ² = 1 y se obtiene 
. Se observa que al duplicar el valor de x, el valor de y se reduce a la cuarta parte de su valor original; por lo tanto 
Por lo tanto las variables y, x ² son inversamente proporcionales.
Ejemplo 13
¿Las variables √x y y en la expresión 
son inversamente proporcionales?
Solución:
La expresión equivale a la expresión y √x = 3, o también se puede escribir 
.
Si, por ejemplo, se reduce a la cuarta parte la variable x entonces la nueva 
y la nueva y, está dada por 
.
Se observa que al reducir a la cuarta parte la variable x, el valor de la variable y se duplica.
El producto 
Por lo tanto las variables √x y y son inversamente proporcionales.
Ejemplo 14
Simbolice mediante una ecuación el enunciado: u varía directamente proporcional con a y b e inversamente proporcional con c.
Solución:
Si u es directamente proporcional con a y b entonces 
una constante y si u es inversamente proporcional con c entonces 
una constante.
Ahora si u es directamente proporcional con a y b e inversamente proporcional con c entonces u es el producto de las proporcionalidades, es decir, u = 
constante.
Ejemplo 15
Simbolice mediante una ecuación el enunciado “Z es proporcional al cubo de t e inversamente proporcional al cuadrado de x + 1”.
Solución:
Por la definición de directa e indirectamente proporcional, se tiene:
Si Z es directamente proporcional a 
entonces 
es una constante. Si Z es inversamente proporcional a ( x + 1) ² entonces existe una constante 
tal que 
.
Si Z es proporcional al cubo de t e inversamente proporcional al cuadrado de ( x + 1) ² entonces Z es el producto de las proporcionalidades, es decir, 
, donde = 
constante.
, donde k es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo 16
La expresión 
con k > 0 , r > 0 representa la magnitud de la fuerza eléctrica F entre dos cargas eléctricas 
no nulas que están separadas por una distancia r.
Dé el valor de verdad a cada una de las proposiciones siguientes, justificando su respuesta.
a) F es directamente proporcional al producto de las cargas en valor absoluto e inversamente proporcional a la distancia r.
b) F es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional a la distancia entre ellas al cuadrado.
c) F y r ² son inversamente proporcionales si | q1 q2 | permanece constante.
d) | q1 q2 | y r ² son inversamente proporcionales si F permanece constante.
Solución:
a) Es falsa, porque la fuerza es inversamente proporcional a r ², no a r.
b) Es falsa, porque la magnitud de la fuerza es directamente proporcional al valor absoluto del producto de las cargas, no del producto sin valor absoluto.
c) Es verdadera, porque si | q1 q2 | es constante entonces 
o equivalentemente Fr ² = constante, que se ajusta a la definición: y varía inversamente proporcional con la potencia n de x, si existe un número real K tal que 
o equivalentemente 
con 
.
Luego F, r ², son inversamente proporcionales.
d) Es falsa, porque si F permanece constante la expresión original se transforma en 
equivalentemente | q1 q2 | = r ², luego por la forma (ver definición de directamente proporcional) se puede asegurar que | q1 q2 | y r ² son directamente proporcionales.
Ejemplo 17
Dada la función 
. Determine los valores f(-2), f(2) y f(4), para la función f, si existen.
Solución:
Para determinar los valores f(-2), f(2) y f(4) se debe seleccionar sólo una de las dos ecuaciones dadas. Para ello se debe verificar el intervalo o el subconjunto o la restricción del dominio al cual pertenece el valor x dado.
Para determinar el valor de f(-2), primero se observa que x = -2 está en el intervalo [ -3, 2 ) = { x ∈ R : -3 ≤ x > 2 }, por lo tanto se utiliza la regla superior f(x) = 5x - 4. Luego f(-2) = 5(-2) -4 = -10 - 4 = 14.
Para determinar f(2), primero se observa que x = 2 no está en el intervalo [ -3, 2 ) = { x ∈ R : -3 ≤ x > 2 } ni en el intervalo (2, +∞) = { x ∈ R : x > 2 }, luego no existe un valor asociado para este punto.
Para determinar f(4), primero se observa que x = 4 está en el Intervalo (2, +∞) = { x ∈ R : x > 2 } por lo tanto se utiliza la regla inferior f(x) = 3 - x ².
Luego 
Definición.
Si la regla de asignación de una función y = f(x) está definida por varias ecuaciones para diferentes subconjuntos o restricciones de su dominio, se dice, que la función está definida a trozos.
Ejemplo 18
Dada la función 
. Determine el valor de f(-2), f(0), f(½), f(1) y f(5).
Solución:
La función y = f(x) dada, como se observa, está definida por tres ecuaciones con sus respectivas restricciones, entonces la función está definida a trozos.
Para hallar el valor de f(-2), primero se observa a qué restricción pertenece x = -2. Se sabe que -2 está en el intervalo ( -∞, 0), es decir, el conjunto de los números reales menores que cero, por lo tanto se debe utilizar la ecuación f(x) = x ² + 1 , luego f(-2) = (-2) ² + 1 = 5.
Para hallar el valor de f(0) primero se debe verificar a cual de las restricciones dadas pertenece x = 0, pertenece al intervalo [ 0, 1 ), es decir, el conjunto de los números reales menores a 1 y mayores o iguales a cero, por lo tanto debo utilizar la ecuación f(x) = 2 entonces f (0) = 2.
De igual forma se analizan los siguientes valores f(½) = 2, porque ½ ∈ [ 0, 1), f(5) = -5 + 2 = 3, porque 5 ∈ [ 1, +∞ ). La Gráfica 11 es la gráfica de la función f.
Ejemplo 19
La posición x de un cuerpo en movimiento rectilíneo sobre el eje horizontal x, con respecto al origen, en función del tiempo t, está dada por:
La posición x del cuerpo al origen, está dada en metros y el tiempo t en segundos
a) ¿Cuál es la posición x del cuerpo en el instante t = 0s ?.
b) ¿Cuál es la posición x del cuerpo en el instante t = 3s ?.
c) ¿En qué instante t la posición del cuerpo es x = 0m ?.
d) ¿En qué instante t la velocidad del cuerpo es cero?.
Solución:
La posición x del cuerpo está definida como una función a trozos con respecto al tiempo y con sus respectivas restricciones entonces:
a) La posición x del cuerpo, cuando 0 ≤ t < 2s, está dada por x(t) = ( 3t + 3)m. Como t = 0s pertenece a dicho intervalo, entonces x(0s) = ( 3 (0s) + 3)m = 3m. Lo que equivale a decir que el cuerpo se encuentra a 3m por la derecha del origen del eje horizontal, en el instante t = 0s.
b) La posición x del cuerpo, cuando 2 ≤ t < 4s, está dada por x(t) = 9m. Como t = 3s pertenece a dicho intervalo, entonces x(3s) = 9m. Lo que equivale a decir que el cuerpo se encuentra a 9m por la derecha del origen del eje horizontal, en el instante t = 3s.
c) Analizando cada restricción para por separado, se tiene que:
Es imposible que el cuerpo pase por el origen cuando t ∈ [ 0, 2 ), porque para estos tiempos, la posición del cuerpo está dada por x(t) = ( 3t + 3 )m, y si la posición del cuerpo es x = 0m, entonces 0 = 3t + 3 y al resolver para t, daría t = -1s el cual no pertenece al dominio de la función posición.
También es imposible que el cuerpo pase por el origen cuando t ∈ [ 0, 4 ), porque para estos tiempos, la posición del cuerpo está dada por x(t = 9m), y si x = 0m, entonces 0 = 9m, que es una contradicción.
Ahora si t ∈ [ 4, 8 ), entonces la posición está dada por x(t) = ( -t ² + 8t - 7)m.
t = 7s y t = 1s , son las soluciones de ésta ecuación , pero t = 1s no pertenece al dominio del tercer trozo, por lo tanto, el cuerpo pasa por el origen a los 7 segundos de haber iniciado su movimiento. Observe que 7s pertenece al dominio del tercer trozo.
d) La posición del cuerpo para los tiempos 2 ≤ t < 4 es 9m (ver función posición), esto significa que el cuerpo no cambió su posición con respecto al origen en ese intervalo de tiempo, luego no se movió lo que significa que su velocidad es cero en este intervalo.
La gráfica 12 es la gráfica de la función f.
La función valor absoluto, que se simboliza, y = f(x) = | x | tiene las siguientes características:
Dominio: todos los números reales.
Rango: todos los números reales no negativos
Simétrica con el eje y, es decir, es una función par. Decrece en el intervalo ( -∞, 0 ] y crece en [ 0, +∞ ). Es una función definida a trozos, está dada por:
Y su gráfica es la siguiente:
Ejemplo 20
La posición x en función del tiempo t de una partícula que se mueve sobre el eje horizontal x, está dada por la ecuación x = t ² - 5t - 2, donde x, medido desde el origen, está en metros ( m ) y el tiempo en segundos ( s ).
a) ¿Qué distancia separa la partícula del origen, en el instante t = 0s?
b) ¿Qué distancia separa la partícula del origen, en el instante t = 1s?
c) Encuentre una expresión en función del tiempo para obtener la distancia recorrida por la partícula entre los instantes t0 y t.
d) Usando la expresión obtenida en la pregunta anterior, halle la distancia recorrida entre los instantes t0 = 0s y t = 1s.
Solución:
Como la posición del cuerpo, en función del tiempo, está dada por x = t ² - 5t - 2, entonces la distancia d con respecto al origen está dada por:
d = | x | = | t ² - 5t - 2 |. Se debe diferenciar posición y distancia.
Posición como su nombre indica, es el punto de ubicación en el eje horizontal de la partícula. La partícula puede estar en la parte positiva o negativa del eje horizontal.
Distancia recorrida d es la medida de la longitud del segmento que une el punto de posición de la partícula con el origen. La distancia de la partícula al origen siempre es positiva, es decir, su medida es en valor absoluto aunque la partícula esté a la izquierda o derecha del origen.
a) Para obtener la distancia d de la partícula, con respecto al origen, se sustituye el tiempo t = 0s en la expresión: d = | x | = | 0 ² - 5t - 2 | y se obtiene d = | x | = | t ² - 5 * 0 - 2 | = | -2m | = 2m, es decir, la partícula está a una distancia d = 2m del origen y su posición en este instante es x = -2m.
b) Para obtener la distancia d de la partícula, con respecto al origen, se sustituye el tiempo t = 1s en la expresión y se obtiene d = | x | = | 1 ² - 5 * 0 - 2 | = | -6m | = 6m, es decir la partícula está a una distancia de 6m del origen y su posición en este instante es x = -6m . c) La distancia d recorrida por la partícula entre los instantes t0 y t, está dada por:
Entonces la distancia recorrida d por la partícula entre los instantes t0 y t, está dada por: d = | t ² - t0 ² - 5t + 5t0 | m.
d) Si t0 = 0s y t = 1s entonces la distancia recorrida entre estos dos instantes se obtiene al reemplazar, estos dos tiempos, en la expresión hallada en la pregunta anterior
La distancia recorrida por la partícula, entre los tiempos dados, es de 4m. La gráfica 14 ilustra dicha distancia.
