Los desplazamientos o traslaciones son movimientos directos que consisten en deslizar figuras, sin sacarlas de su propio plano, manteniendo su forma y tamaño.

En el trazado de funciones, las traslaciones se utilizan para obtener la gráfica de ciertas funciones a partir de la representación gráfica de una función conocida.

Ejemplo 1
Considere las gráficas de las funciones h  y m  dadas en las Gráficas 1 y 2, respectivamente:

En este caso, una de las dos gráficas se puede obtener a partir de la otra por traslación horizontal:
• La gráfica de la función m  se obtiene deslizando 6 unidades hacia la derecha la gráfica de la función h .
• La gráfica de la función h  se obtiene deslizando 6 unidades hacia la izquierda la gráfica de la función m .

Además, el rango de las dos funciones es el intervalo [ -4, 5 ], mientras que el dominio de la función h  es el intervalo [ -7, -1 ] y el de la función m  es [ -1, 5 ].

Según lo anterior, bajo esta traslación horizontal, no hay variación en el rango de las funciones. Pero el dominio de h  ó de m  va a depender del número de unidades (hacia la derecha o hacia la izquierda) en que se efectué el deslizamiento.

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Ejemplo 2
Considere las gráficas de las funciones f  y g , ver Gráfica 3, donde f( x ) = √x + 2. Exprese la función g  en términos de la variable “x”  e indique el dominio y rango de ambas funciones.

La información dada sugiere que la gráfica de la función g  se puede obtener por traslación vertical de la gráfica de la función f , además para algunos puntos de la gráfica de las funciones f  y g  se tiene la Tabla 1:


En la Tabla 1, los valores de la tercera columna se generan sumando -4 unidades a cada valor de la segunda columna. Lo anterior indica que al deslizar 4 unidades hacia abajo la gráfica de f  se obtiene la gráfica de g . Es decir, g(x) = f(x) + (-4). Luego, g(x) = √x + 2 + (-4) = √x - 2.

De otro lado las gráficas de las funciones f  y g  también sugieren que ambas tienen como dominio el intervalo [ 0, ∞ ]. Sin embargo, no ocurre lo mismo con el rango: el rango de la función f  es el intervalo [ 2, ∞ ] y el de g es el intervalo [ -2, ∞ ].

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

La representación gráfica de la función g(x) = f(x) + c,  a partir de la gráfica de la función y = f(x)  se obtiene efectuando traslaciones verticales, ver Gráfica 4.

Cuando c > 0, la gráfica de g  se obtiene desplazando c  unidades hacia arriba la gráfica de f .

Cuando c < 0, la gráfica de g  se obtiene desplazando | c | unidades hacia abajo la gráfica de f .

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL

En este caso la representación gráfica de la función g(x) = f(x + c),  a partir de la gráfica de la función y = f(x),  se obtiene efectuando traslaciones horizontales, ver Gráfica 5.

Cuando c > 0, la gráfica de g  se obtiene desplazando c  unidades hacia la izquierda la gráfica de g .

Cuando c < 0, la gráfica de g  se obtiene desplazando | c | unidades hacia la derecha la gráfica de f .

COMBINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES

Corresponde a los casos donde la representación gráfica de una función de la forma g(x) = f(x + a) + b  se obtiene, a partir de la gráfica de la función y = f(x),  bien sea efectuando traslaciones verticales seguidas de traslaciones horizontales o viceversa, ver Gráfica 6.

Ejemplo 3
Trace la gráfica de la función .

Solución:
En primer lugar la fórmula que define a la función g  sugiere que su gráfica, en el plano cartesiano, se puede obtener a partir de la gráfica de la función f(x) = √x.

Para ello, deslice 3 unidades hacia la derecha, la gráfica de f(x) = √x  y trace en el plano la gráfica de la función . Por último, deslice 4 unidades hacia arriba, la gráfica de , y trace la gráfica de la función , ver Gráfica 7.

Por último, se puede establecer lo qué ocurre con el dominio y el rango de las funciones f  y g  una vez efectuada esta combinación de movimientos:

Como el dominio de la función f(x) = √x  es el intervalo [ 0, ∞ ), una vez desplazada 3 unidades hacia la derecha la gráfica de f  se genera la gráfica de la función auxiliar , la cual tiene como dominio el intervalo [ 3, ∞ ). Y debido a que la gráfica de se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de , su dominio es el intervalo [ 3, ∞ ).

En el caso de la función f(x) = √x  el rango es el intervalo [ 0, ∞ ) el cual no cambia para la función auxiliar . Sin embargo, una vez efectuado el desplazamiento de 4 unidades hacia arriba de la gráfica de la función auxiliar se genera la gráfica de la función , la cual tiene como rango el intervalo [ 4, ∞ ).

ALARGAMIENTOS O ENCOGIMIENTOS VERTICALES

Ejemplo 4
Trace las gráficas de las funciones y = √x  e y = 2√x , mostrando la diferencia entre ellas.

Solución:

Al trazar las gráficas de las funciones y = √x  e y = 2√x , ver Gráfica 8, se observa que ambas tienen la forma de media parábola, con una leve diferencia. Esta diferencia es producida por el factor 2, el cual produce que los valores correspondientes a la variable “y” en la segunda función y = 2√x  se dupliquen con respecto a los valores “y” de la primera y = √x . Obsérvese que el valor de la ordenada para x = 4, en la primera función es y = 2, mientras que para la segunda es y = 4; de la misma manera para x = 9, los valores para la primera es y = 3, y para la segunda es y = 6. Es decir se puede decir que la gráfica de y = 2√x  se puede obtener a partir de la gráfica de y = √x  mediante un “estiramiento” vertical del doble.

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Ejemplo 5
Trace la gráfica de , mostrando el efecto que produce el factor ½ sobre la gráfica de y = x ². Solución:

En la Gráfica 9 se muestran las gráficas de las funciones e y = x ². Allí se pueden observar los valores de las imágenes para x = 2. En la gráfica de y = x ² se muestra el valor de y = 4, mientras que para la función , es y = 2, lo cual muestra que los valores de las imágenes en la segunda función se han reducido a la mitad. Obsérvese que el valor de la ordenada en ambas funciones para x = 0, se mantiene constante e igual a cero, es decir los cortes con el eje x se conservan en ambas funciones. En otras palabras, el multiplicar una función por un factor mayor que cero y menor que uno, produce en su gráfica un efecto de “encogimiento” vertical.

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Ejemplo 6
Dada la función , determine las gráficas de y = 2f(x) y de y = ½f(x) a partir de la gráfica de y = f(x). ¿Cómo afectan estos factores el domino y el rango de la función inicial?

Solución:

En la Gráfica 10 se pueden observar las gráficas de las funciones y = f(x),  y = 2f(x)  y y = ½f(x). En ella se puede notar que los valores de las ordenadas y en las gráficas de las dos últimas se ven afectados por los factores 2 y ½, haciendo que éstos se dupliquen, en el primer caso, o se reduzcan a la mitad, en el segundo caso. Es decir al multiplicar una función, por un factor, los valores de las ordenadas también se multiplican por ese factor haciendo que se produzca un efecto de “estiramiento” o “encogimiento” vertical sobre la gráfica inicial y = f(x).

Al ver las gráficas de y = f(x),  y = 2f(x)  y y = ½f(x),  se encuentra que el dominio no se ve afectado por el hecho de multiplicar por un factor; lo cual no sucede con el rango, pues éste si se afecta: el rango de la función inicial es [ 1, 2 ] y el rango de las funciones y = 2f(x)  e y = ½f(x)  son [ 2, 4 ] y [ ½, 1 ] respectivamente. En otras palabras el rango se ve multiplicado también por el mismo factor.

ALARGAMIENTOS O ENCOGIMIENTOS HORIZONTALES

Ejemplo 7
Trace las gráficas de las funciones y = √x  e y = √2x , mostrando la diferencia entre ellas.

Solución:

Al trazar las gráficas de las funciones y = √x  e y = √2x , ver Gráfica 11, se puede observar que para obtener el mismo valor de la ordenada y en las funciones y = √x  e y = √2x , es necesario que el valor de la abscisa x  en la segunda función sea la mitad del valor de la variable x  de la primera. Así por ejemplo para el caso y = 2,  el valor de la abscisa en la primera debe ser de x = 4 , mientras que para la segunda el valor de ésta debe ser x = 2,  mientras que para el caso y = 4,  los valores de la abscisa deben ser x = 16  y x = 8  respectivamente, es decir los valores de la variable x deben ser la mitad en la función y = √2x  comparados con los valores de x  en la función y = √x . Esto produce un efecto sobre la gráfica de y = √x  de “encogimiento” horizontal.

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Ejemplo 8
Trace la gráfica de g(x) = (½x) ²,  mostrando el efecto del escalar ½   sobre la gráfica de f(x) = x ² .

Solución:

Lo primero que se debe observar es que el factor 0.5 está afectando directamente a los valores de la variable x, y que por esto, los valores de las funciones g(x) = (½x) ²  y f(x) = x ²  son los mismos cuando los valores de x en la primera son el doble de los valores x de la segunda. Así por ejemplo el valor de la ordenada y = 4, cuando x = 2 y x = -2, en la función f(x) = x ² , se obtiene en x = 4 y x = -4, en la función g(x) = (½x) ² . En otras palabras la gráfica de g(x) es similar a la gráfica de f(x), pero “alargada” horizontalmente, ver Gráfica 12.

Conocidas las características y la gráfica de una función y = f(x), se pretende ahora alargar o encoger horizontalmente la gráfica de la función inicial. Esto se logra cuando se modifica los valores del dominio de una función, es decir cuando los valores de x se ven multiplicados por un escalar positivo. En otras palabras lo que se quiere es graficar la función y = f(x), con c > 0.

Cuando c > 1, los valores del argumento de la función se ven incrementados proporcionalmente con c, haciendo que la gráfica se comprima horizontalmente; mientras que cuando 0 < c < 1, los valores del argumento de la función reducen su tamaño, haciendo que la gráfica se estire horizontalmente

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Ejemplo 9

Dada la gráfica de una función y = f(x)  que se muestra en la Gráfica 13, determine las gráficas de y = f(2x)  y de y = f(0.5x)  a partir de la gráfica de y = f(x).  ¿Cómo afecta estos factores el domino y el rango de la función inicial?

Solución:


Para observar mejor se ha trazado la gráfica de cada función por separado. Claramente se puede ver que las gráficas son similares, sólo que las dos últimas han sufrido un encogimiento, ver Gráfica 14, o un estiramiento horizontal, ver Gráfica 15.

Los valores de las ordenadas se mantienen, lo cual me indica que el rango no se afecta cuando se hace una dilatación horizontal.

Se puede observar que el dominio si se afecta al realizarse una dilatación. El dominio se modifica de acuerdo con el estiramiento o encogimiento realizado. Se puede observar en el ejemplo, que el dominio de la función inicial [ 0, 4 ] se modifica: en el primer caso y = f(2x)  se comprime: pasa de [ 0, 4 ] a [ 0, 2 ] y en el segundo y = f(0.5x)  se dilata de [ 0, 4 ] a [ 0, 8 ]. En otras palabras cuando se produce una dilatación y = f(cx)  con c > 0, el dominio de la nueva función, se afecta de acuerdo con el valor inverso de la constante por la cual se multiplica la variable x. Si el dominio de y = f(x).  es el intervalo [ a, b ], el dominio de la función y = f(cx).  es el intervalo [ a/c, b/c ].

Dado un punto P del plano con coordenadas ( x, y ), este se puede reflejar con respecto al eje x, al eje y, con respecto a la recta y = x,  o con respecto al origen.

REFLEXIÓN CON RESPECTO AL EJE X

Si P es un punto de coordenadas ( x, y ) y P* denota la reflexión de P  con respecto al eje x, entonces las coordenadas de P*  son ( x, -y ). Observe que la primera componente del punto reflejado P*,  es la misma del punto P  y la segunda componte, es el opuesto de la segunda componente de P.

Así por ejemplo, si el punto cuyas coordenadas son ( 3, 2 ), se refleja con respecto al eje x, entonces las coordenadas del punto reflejado son ( 3, -2 ), ver gráfica 16.

Si un punto P se refleja con respecto al eje x,  se dice que es una reflexión vertical.

Así como se puede reflejar un punto P,  también se puede reflejar el conjunto de puntos de la gráfica de una función.

Ejemplo 10
Dibuje la reflexión con respecto al eje x, de la función y = √x  dada en la Gráfica 17.

Solución:
Algunos puntos de la gráfica de la función son ( 0, 0 ), ( 1, 1 ), ( 4, 2 ). Para obtener la reflexión de estos puntos con respecto al eje x, se deja la primera componente igual y se cambia el signo de la segunda componente. Por lo tanto la reflexión de los anteriores puntos son respectivamente ( 0, 0 ), ( 1, -1 ), ( 4, -2 ) como se muestra en la Gráfica 18.


Si el anterior procedimiento se hace para todos los puntos de la gráfica de la función y = √x,  entonces se obtiene la reflexión con respecto al eje x. En la Gráfica 19 se observa la gráfica de la función y = √x  (punteada) y la reflexión con respecto al eje x de ésta.


Observe que en el ejemplo anterior los puntos de la gráfica de la función y = f(x) = √x  son de la forma ( x, y) = ( x, f(x) ) = ( x, √x )  para x ≥ 0, y los puntos de la reflexión de la gráfica de esta, con respecto al eje x son de la forma ( x, -y) = ( x, -f(x) ) = ( x, -√x )  para x ≥ 0. Luego la gráfica de la función reflejada con respecto al eje x,  corresponde a -f(x) = √x.

En general si se tiene la gráfica de una función f, la gráfica de la función -f corresponde a la reflexión de la gráfica de f con respecto al eje x, llamada reflexión vertical.

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Ejemplo 11
A partir de la gráfica de la función f,  dada en la Gráfica 20, trace la gráfica de –f.

Solución:
Para trazar la gráfica de la función –f  se hace una reflexión con respecto al eje x (reflexión vertical) de la gráfica de f.

Si x ∈ [ -2, 2 ] los valores de la función f  son positivos, por lo tanto los valores de la función –f  son negativos; para x ∈ [ 2, 3 ] los valores de la función f  son negativos por lo tanto los valores de la función –f  son positivos, y para x = 2 los valores de f  y –f  valen cero.

En la Gráfica 21 se muestra la gráfica de –f.

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Ejemplo 12
La tabla 2 representa los valores de una función y = f(x).

Construya la tabla para la función -f.

Solución:
Para obtener la tabla de la función -f(x),  observe que el dominio de la función no cambia (valores de x), los valores del rango (valores de y) se multiplican por -1. En la Tabla 3 se muestra los valores para la función -f(x).

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Ejemplo 13
Sea la regla de asignación de la función f con dominio en los reales. Si la gráfica de la función g(x),  es la gráfica de f(x)  reflejada con respecto al eje x, ¿Cuál es la regla de asignación de la función g( x ) ?

Solución:
La regla de asignación de g  es .

REFLEXIÓN CON RESPECTO AL EJE Y

Si P es un punto de coordenadas ( x, y )  y P*  denota la reflexión de P  con respecto al eje y, entonces las coordenadas de P*  son ( -x, y ). Observe que la primera componente del punto reflejado P*,  es el opuesto de la primera componente del punto P  y la segunda componte de P*,  es la misma segunda componente de P.

Así por ejemplo, si el punto cuyas coordenadas son ( 3, 2 ), se refleja con respecto al eje y, entonces las coordenadas del punto reflejado son ( -3, 2 ), ver Gráfica 22.

Si un punto P  se refleja con respecto al eje y,  se dice que es una reflexión horizontal.

Así como se puede reflejar un punto P  con respecto al eje y, también se puede reflejar el conjunto de puntos de la gráfica de una función con respecto al eje y.

Ejemplo 14
Dibuje la reflexión con respecto al eje y,  de la gráfica de la función y = √x  que se da en la Grafica 23.

Solución:
Algunos puntos de la gráfica de la función son ( 0, 0 ), ( 1, 1 ), ( 4, 2 ). Para obtener la reflexión de estos puntos con respecto al eje y,  se coloca el opuesto de la primera componente en cada punto y la segunda componente se deja igual. Por lo tanto la reflexión de los anteriores puntos son respectivamente ( 0, 0 ), ( -1, 1 ), ( -4, 2 ) como se muestra en la Gráfica 24.


Si el anterior procedimiento se hace para todos los puntos de la gráfica de la función y = √x,  entonces se obtiene la reflexión con respecto al eje y.  En la Gráfica 25 se muestra la gráfica de la función y = √x  (punteada) y la reflexión con respecto al eje y  de esta.


Observe que en el ejemplo anterior los puntos de la gráfica de la función y = f(x) = √x  son de la forma ( x, y ) = ( x, f(x) ) = (x, √x )  para x ≥ 0,  y los puntos de la reflexión de la gráfica de esta, con respecto al eje y son de la forma ( -x, y ) = ( x,  f(-x) ) = (x, √-x )  para x ≤ 0.

Luego la gráfica de la función reflejada con respecto al eje y, corresponde a f(-x) = √-x  para x ≤ 0.

Si P  es un punto de coordenadas ( x, y )  y P*  denota la reflexión de P  con respecto a la recta y = x,  entonces las coordenadas de P*  son ( y, x ).  Observe que la primera componente del punto reflejado P*,  es la segunda componente P  y la segunda componente de P*,  es la primera componente de P.

Así por ejemplo, si el punto cuyas coordenadas son ( 3, 2 ), se refleja con respecto a la recta y = x,  entonces las coordenadas del punto reflejado son P.


En general si se tiene la gráfica de una función y = f(x),  para trazar la gráfica de la función y = f(-x)  se hace una reflexión de la gráfica de f(x)  con respecto al eje y.

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Ejemplo 15
A partir de la gráfica de que aparece en la Gráfica 27, trace la gráfica de y = f(-x).

Solución:
Para trazar la gráfica de la función y = f(-x)  se hace una reflexión con respecto al eje y  (reflexión horizontal) de la gráfica de f.

Si x ∈ [ -2, 0 ] los puntos de la gráfica de la función f  se encuentran al lado izquierdo del eje y,  al reflejar estos puntos con respecto al eje y,  quedan ubicados en el lado derecho del eje y.

Si x ∈ [ 0, 3 ] los puntos de la gráfica de la función f  se encuentran al lado derecho del eje y,  al reflejar estos puntos con respecto al eje y,  quedan ubicados en el lado izquierdo del eje y, y para x = 0 el punto de la gráfica de f  es ( 0, 1 ) y si este punto se refleja con respecto al eje y  queda igual.

En la Gráfica 28 se muestra la gráfica de y = f(-x).

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Ejemplo 16
La tabla 4 representa los valores de una función y = f(x).

Si la gráfica de la función f  se refleja sobre el eje y,  y a esta nueva función se la denota con g,  elabore la tabla para la función g.

Solución:
Para obtener la tabla de la función g,  los valores del dominio de f  se multiplican por -1 (valores de x), los valores del rango no cambian (valores de y). En la Tabla 5 se dan los valores para la función g.

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Ejemplo 17
Sea la regla de asignación de la función f con dominio .

Si la gráfica de la función g(x), es la gráfica de f(x) reflejada con respecto al eje y, ¿cuál es la regla de asignación de la función g(x)?

Solución:
La regla de asignación es y el dominio es .

Considere la gráfica de la función que muestra en la Gráfica 29:

Si
Si
En general para cualquier x en el dominio de esta función se cumple que f(x) = f(-x).

Ejemplo 18
Determine si las siguientes funciones son pares:
a) f(x) = x ² + 1.
b) f( x ) = 2x.

Solución:
a) Si f(x) = x ² + 1,
f( -x) = ( -x ) ² + 1 = x ² + 1
Luego f( -x ) = f( x ),  por lo tanto f  es una función par.

b) Si f( x ) = 2x,
f( -x ) = 2( -x ) = -2x
Luego f( -x ) ≠ f( x ),  por lo tanto f  no es una función par.

Cuando una función con regla de asignación y = f(x)  es par, la ecuación y = f(x)  no cambia si se sustituye x  por -x,  porque y = f(x) = f(-x).  Por lo tanto si ( x, y ) es un punto de la gráfica de f  también el punto ( -x, y ) pertenece a la gráfica de f. Así por ejemplo, para la función f(x) = x ² + 1,  los puntos ( 1, 2 ) y ( -1, 2 ) pertenecen a la gráfica de f  como se muestra en la Gráfica 30.

En general la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y.

Considere la gráfica de la función que se presenta a continuación:


Si
Si

En general para cualquier x  en el dominio de esta función se cumple que f(-x) = -f(x).

Ejemplo 19
Determine si las siguientes funciones son impares:
a) .
b) .

Solución:
a) Si , luego , por lo tanto f es una función impar.

b) Si , luego , por lo tanto f no es una función impar.

Cuando una función con regla de asignación y = f(x)  es impar, la ecuación y = f(x)  cambia si se sustituye x  por -x, porque f(-x) = -f(x) = -y.  Por lo tanto si ( x, y ) es un punto de la gráfica de f  también el punto ( -x, -y )  pertenece a la gráfica de f.

Así por ejemplo, para la función , los puntos ( 2, 8 ) y ( -2, -8 ) pertenecen a la gráfica de f.

En general, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.