En la Tabla 1 aparecen varios pares ordenados de números que corresponden a coordenadas de puntos de la gráfica de la función con regla de asignación f( x ) = x ².
La ubicación de estos puntos en un plano cartesiano se puede observar en la Gráfica 1.
Pero estos no son los únicos puntos que se pueden graficar, pues a la variable x se le puede asignar cualquier valor del intervalo ( -∞, ∞ ). Ahora, al unir estos puntos con una curva continua se obtiene la gráfica de la función f( x ) = x ², esta curva se llama parábola. Ver Gráfica 2.
Una propiedad geométrica de este tipo de parábola es que presenta simetría respecto de un eje vertical llamado eje de simetría. Además, el punto de intersección del eje de simetría con la parábola se llama vértice.
En el caso de la función f( x ) = x ² , decimos que su gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (0, 0) y cuyo eje de simetría es el eje y.
Ejemplo 1
¿Qué sucede con la gráfica de la función cuya regla de asignación es g( x ) = -x ²?
Solución:
Para obtener las coordenadas de algunos puntos de la gráfica de g se pueden tabular algunos valores, los cuales se pueden apreciar en la Tabla 2:
Ubicando estos puntos en el plano cartesiano y uniéndolos con una curva continua se obtiene la gráfica de g( x ) = -x ², la cual se aprecia en la Gráfica 3.
En este caso, decimos que la gráfica de la función g es una parábola que abre hacia abajo con vértice en el punto (0, 0) y cuyo eje de simetría es el eje y.
Ejemplo 2
¿Qué sucede con la gráfica de la función cuya regla de asignación es h( x ) = x ² + 4?
Solución:
Llevando a cabo una traslación vertical de 4 unidades hacia arriba de la gráfica de f( x ) = x ² se obtiene la gráfica de la función h.
En este caso, se dice que la gráfica de la función h es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (0, 4) y cuyo eje de simetría es el eje, ver Gráfica 4.
Ejemplo 3
¿Qué sucede con la gráfica de la función cuya regla de asignación es m( x ) = ( x - 3 ) ²?
Solución:
Realizando una traslación horizontal de 3 unidades hacia la derecha de la gráfica de f( x ) = x ² se obtiene la gráfica de la función m.
En este caso, se dice que la gráfica de la función m es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (3, 0) y cuyo eje de simetría es la recta x = 3, ver Gráfica 5.
Ejemplo 4
¿Qué sucede con la gráfica de la función cuya regla de asignación es p( x ) = x ² + 4x + 4 ?
Solución:
Al igual que en los ejemplos 2 y 3, la gráfica de p( x ) = x ² + 4x + 4 es una parábola que se obtiene efectuando traslaciones a partir de la gráfica de f( x ) = x ².
Para ello se utiliza el método de completar cuadrados:
Según lo anterior, realizando una traslación horizontal de 2 unidades hacia la izquierda y otra vertical de 1 unidad hacia arriba de la gráfica de f( x ) = x ² se obtiene la gráfica de la función p.
En este caso, la gráfica de la función p es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto (-2, 1) y cuyo eje de simetría es la recta x = -2, ver Grafica 6.
Cada una de las funciones de los ejemplos 1, 2, 3 y 4 recibe el nombre de función cuadrática.
Definición
Una función cuadrática es toda función de la forma f( x ) = ax ² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.
El dominio de una función cuadrática es el intervalo ( -∞, ∞ ). Sí a > 0, su gráfica es una parábola que abre hacia arriba; sí a < 0, su gráfica es una parábola que abre hacia abajo.
Para graficar la función cuadrática se recomienda:
- Usar el método de completar cuadrados para expresar la función f( x ) = ax ² + bx + c en la forma estándar f( x ) = a( x - h ) ²; donde ( h, k ) corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola.
- Hallar un punto de la parábola a cada lado del vértice.
Ejemplo 5
Trace la gráfica de la función f( x ) = 3x ² - 12x + 16.
Solución:
Usando la recomendación, se expresa la función f en la forma estándar:
En este caso, la gráfica debe ser una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto ( 2, 4 ).
Al evaluar la función en x = 0 y en x = 3, se obtienen los puntos ( 0, 16 ) y ( 3, 7 ) de la parábola a cada lado del vértice ( 2, 4 ), ver Gráfica 7.
Considere la función f( x ) = x ² en el intervalo [ -3, 3 ] (ver Gráfica 2). El valor más pequeño de la función es 0 y lo alcanza en x = 0, mientras que el valor más grande es 9 y lo alcanza en x = -3 ó en x = 3.
A estos valores se les llama extremos de la función y en diversas aplicaciones es importante encontrar los puntos donde la función los alcanza.
Los valores extremos de la función f, cuya gráfica está en la Gráfica 8, en el intervalo [ b, e ] son f(b) y f(e) que se alcanzan en los puntos x = b, x = e. El más pequeño de estos valores es f(b) y el más grande f(e).
En el caso de la función cuadrática se tiene un valor extremo en todo el dominio de la función, el cual está determinado por la ordenada del vértice de la parábola que representa a la función:
- Sí la parábola abre hacia arriba, se dice que el vértice de coordenadas ( h, k ) es un punto mínimo y en este caso f(h) = k es el mínimo de la función.
- Sí la parábola abre hacia abajo, se dice que el vértice de coordenadas ( h, k ) es un punto máximo y en este caso f(h) = k es el máximo de la función.
MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
Sí f(a) ≤ f(x) para toda x en un intervalo I entonces f alcanza un valor mínimo en x = a y el mínimo es f(a).
MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN
Sí f(a) ≥ f(x) para toda x en un intervalo I entonces f alcanza un valor mínimo en x = a y el mínimo es f(a).
Ejemplo 6
Determine el valor máximo ó mínimo de la función cuadrática f( x ) = 3x ² - 6x + 5.
Solución:
La gráfica de esta función es una parábola que abre hacia arriba, pues su coeficiente principal es positivo. En este caso, la función alcanza su valor mínimo en x = h, donde h es la primera coordenada del vértice de la parábola.
Expresando la función en la forma estándar se obtiene:
f( x ) = 3x ² – 6x + 5 = 3(x ² – 2x) + 5 = 3(x ² – 2x + 1) + 5 – 3 = 3(x – 1) ² + 2
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (1, 2). Es decir, el valor mínimo de función f es 2 y lo alcanza en x = 1, ver Gráfica 11.
Ejemplo 7
Determine el valor máximo o mínimo de la función cuadrática g( x ) = -2x ² + 8x - 6.
Solución:
La gráfica de esta función es una parábola que abre hacia abajo, pues su coeficiente principal es negativo. En este caso, la función alcanza su valor máximo en x = h, donde h es la primera coordenada del vértice de la parábola.
Expresando la función en la forma estándar se obtiene:
g( x ) = -2x ² + 8x – 6 = -2(x ² – 4x) - 6 = -2(x ² – 4x + 4) - 6 + 8 = -2(x – 2) ² + 2
Expresando la función en la forma estándar se obtiene:
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (2, 2). Es decir, el valor máximo de la función g es 2 y lo alcanza en x = 2, ver Gráfica 12.
Ejemplo 8
Un propietario tiene 40 metros de alambre y quiere usarlo para rodear un lote rectangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de este lote para que quede encerrada la máxima área?
Solución:
En la Gráfica 13 se representa el lote rectangular con sus dimensiones, siendo x la medida del ancho y y la medida del largo del rectángulo respectivamente
Como el propietario desea usar todo el alambre, los 40 metros le deben alcanzar para cubrir el perímetro del rectángulo.
La afirmación anterior se puede simbolizar, en términos de x e y, mediante la ecuación: 2x + 2y = 40. Despejando y en términos de x se obtiene: y = 20 - x.
A continuación, se representará el área del lote rectangular en términos del ancho x:
A = xy = x( 20 - x ) = 20x - x ²
Lo que se obtuvo como área es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo.
Expresando la función en forma estándar se obtiene:
Por lo tanto, el vértice de la parábola esta en el punto (10, 100). Es decir, el valor máximo de la función es 100 y lo alcanza en x = 10.
Además, y = 20 - x = 20 - 10 = 10
De acuerdo a lo anterior, la máxima área encerrada es de 100 m² y se obtiene cuando el lote sea un cuadrado de 10 metros de lado.