Definición 1
Sean f  y g  dos funciones con dominios Df  y Dg,  respectivamente. Se define la función suma de f  y g , denotada, f  + g , con dominio Df + g = Df ∩ Dg  y regla de asignación ( f + g )( x ) = f( x ) + g( x ).

Ejemplo 1
Las Tablas 1 y 2 representan todos los valores de las funciones y = f(x)  e y = g(x).



a) Halle ( f + g )(1.3).
b) Encuentre un valor de x para el cual ( f + g )(x)  no exista.
c) Encuentre el dominio de la función ( f + g ).
d) Complete la Tabla 3.


Solución:
a) ( f + g )(1.3) = f(1.3) + g(1.3) = -2.3 + 4.3 = 2.0.
b) Como ( f + g )(x) = f(x) + g(x),  entonces ( f + g )(x)  no existe donde f(x)  ó g(x)  no estén definidas. Es decir, donde x  no pertenezca al Df ∩ Dg.  Por ejemplo para x = 0, porque 0 ∈ Df  y 0 ∉ Dg.  También pueden ser x = 2.0 porque 2.0 ∉ Df  y 2.0 ∈ Dg.  Puede ser también x = 3.1 puesto que 3.1 ∉ Df  y 3.1 ∉ Dg.  Como estos valores existen muchísimos más.
c) Como Df = { -4.0, -3.5, -2.7, -1.6, 0, 1.3, 1.8, 2.2, 3.0 }  y Dg = { -3.5, -2.6, -1.6, -0.7, 1.3, 1.8, 2.0, 2.2, 3.0, 3.5},  se tiene que Df + g = Df ∩ Dg.
d) La Tabla 3 de ( f + g )(x)  se obtiene sumando los valores de las imágenes de los números que pertenecen al dominio de f  + g,  esto está resumido en la Tabla 4.


La Tabla 5 muestra los resultados de las respectivas sumas:


Dadas las gráficas de dos funciones, siempre es posible hacer la gráfica de la función suma o resta de ellas.


Ejemplo 2
En la gráfica aparecen las representaciones de las funciones m y n.


a) Evalúe ( m + n )(1).
b) Encuentre un valor de x para el cual ( m + n )(x) no esté definida.
c) Encuentre el dominio de m + n.
d) Haga la gráfica de m + n.

Solución:
a) ( m + n )(1) + m(1) + n(1) = 4 + (-2) = 2.
b) Como ( m + n )(x) = m(x) + n(x), entonces ( m + n )(x) no existe donde m(x) ó n(x) no estén definidas. Es decir donde x no pertenezca al Dm ∩ Dn.  Por ejemplo para x = 4 porque 4 ∉ Dm  y 4 ∈ Dn. . También pueden ser x = -1.5 porque -1.5 ∈ Dm  y -1.5 ∉ Dn.  Puede ser también x = 5 porque 5 ∈ Dm  y 5 ∉ Dn.  Como estos valores existen muchísimos más.
c) El dominio de m es Dm = [ -2, 3 ]  y dominio de n es Dn = [ -1, 4 ],  entonces el dominio de m + n es Dm+n = [ -1, 3 ] 
d) A partir de las gráficas de las funciones m y n se puede obtener la gráfica de la función m + n, ella se construye de manera puntual. Para un x ∈ Dm+n  se suma el segmento que corresponde a la evaluada en m, m(x),  con el segmento que corresponde a la evaluada en n, n(x),  teniendo en cuenta los signos de los términos a sumar. Eso quiere decir, que si un término es positivo y el otro es negativo en vez de sumar, terminaría haciéndose una resta.
La secuencia en las Gráficas del 2 a 8, muestran la construcción de la función m + n :







La Gráfica 9, representación gráfica de la función m + n:



Ejemplo 3
Sean y las reglas de asignación de las funciones t  y r  respectivamente.

a) Evalúe ( t + r )(0).
b) Encuentre un valor de x para el cual ( t + r )(x)  no exista.
c) Encuentre todos los valores de x para los cuales ( t + r )(x)  exista.
d) Dé la regla de asignación para la función ( t + r )(x).

Solución:
a) .
b) ( t + r )(x)  no existe donde t(x)  ó r(x)  no estén definidas. Es decir donde x no pertenezca a Dt ∩ Dr.  Por ejemplo para x = -1 porque -1 ∈ Dt  y -1 ∉ Dr.  También pueden ser x = 5 porque 5 ∈ Dt  y 5 ∉ Dr.  Como estos valores existen muchísimos más.
c) Para encontrar el dominio de la función t  se debe encontrar todos los valores que hagan que 4 - x > 0, eso implica que x < 4, luego Dt = ( -∞, 4 ).
El dominio de la función r  son todos los reales excepto -1, Dr = R - { -1 }. Así, el dominio de la función t + r  es: 
Dt ∩ Dr = ( -∞, 4 ) ∪ ( -1, 4)
d) .

Sean f  y g  dos funciones con dominios Df  y Dg,  respectivamente. Se define la función producto de f  y g , denotada, fg , con dominio Dfg = Df ∩ Dg  y regla de asignación ( fg )( x ) = f( x )g( x ).

Ejemplo 4
Las Tabla 6 y 7 representan las funciones y = h(x)  e y = p(x)


a) Halle (hp)(-3).
b) Encuentre un valor de x para el cual (hp)(x) no exista.
c) Encuentre todos los valores de x para los cuales (hp)(x) exista.
d) Complete la Tabla 8.


Solución:
a) ( hp )(-3) = h(-3)p(-3) = ( -1/5 )(4) = -4/5.
b) ( hp )(x)  no existe donde h(x)  ó p(x) no estén definidas. Es decir donde x  no pertenezca al Dh ∩ Dp.  Por ejemplo para x = -5, porque -5 ∈ Dh  y -5 ∉ Dp.  También pueden ser x = -2, porque -2 ∉ Dh  y -2 ∈ Dp.  Puede ser también x = 3, porque 3 ∉ Dh  y 3 ∉ Dp.  Como estos valores existen muchísimos más.
c) Como Dh = { -5, -3, -1/5, 4, 7, 9 }  y Dp = { -3, -2, -1/5, 1, 2, 4 },  se tiene que Dhp = Dh ∩ Dp.
d) La Tabla 8 de ( hp )(x) se obtiene de multiplicar los valores de las imágenes de los números que pertenecen al dominio de hp, esto está resumido en la Tabla 9:

La Tabla 10 muestra los resultados de las multiplicaciones, quedando:

No siempre es posible a partir de las representaciones gráficas de las funciones construir la gráfica de la función producto. En el siguiente ejemplo, si lo es porque una de las funciones es constante a trozos.


Ejemplo 5
En la Gráfica 10 se dan las representaciones gráficas de las funciones s  y r,  en el mismo plano.


a) Evalúe ( sr )(-3).
b) Encuentre un valor de x  para el cual ( sr )(x)  no exista.
c) Encuentre todos los valores de x  para los cuales ( sr )(x)  exista.
d) Haga la gráfica de sr.

Solución:
a) ( sr )(-3) = s(-3)r(-3) = (-2)(1) = -2.
b) ( sr )(x) no existe donde s(x) ó r(x) no estén definidas. Es decir donde x no pertenezca a Ds ∩ Dr. Por ejemplo para x = -6, porque -6 ∈ Ds  y -6 ∉ Dr.  También pueden ser x = 7, porque 7 ∉ Ds  y 7 ∉ Dr. . Como estos valores existen muchísimos más.
c) El dominio de la función sr es la intersección del dominio de s con el dominio de r. El dominio de s es Ds = [ -5, 3 ) y el dominio de r es Ds = [ -7, 5 ). Así, el dominio de la función sr es Ds ∩ Dr = Ds ∩ Dr = [ -5, 3 ).
d) La representación gráfica de la función ( sr )(x) se construye de manera puntual haciendo el producto de los valores respectivos.
La secuencia en las Gráficas del 11 al 20, muestra la construcción de la gráfica de sr.











La Gráfica 21 representación gráfica de la función sr:



Ejemplo 6
Sean y g(x) = x + 2  las reglas de asignación de las funciones f  y g  respectivamente.

a) Evalúe ( fg )(1).
b) Encuentre un valor de x  para el cual ( fg )(x)  no exista.
c) Encuentre todos los valores de x  para los cuales ( fg )(x)  exista.
d) Dé la regla de asignación para la función ( fg )(x).

Solución:
a) .
b) ( fg )(x)  no existe, donde f(x)  ó g(x)  no estén definidas. Es decir, donde x  no pertenezca al Df ∩ Dg.  Por ejemplo para x = -2,  porque -2 ∉ Df  y -2 ∈ Dg.  También pueden ser x = 2,  porque 2 ∉ Df  y 2 ∈ Dg.  No existen más valores.
c) El dominio de la función fg  es la intersección del dominio de f  con el dominio de g.  El dominio f  es Df = R - { -2, 2 }  y el dominio de g  es Dg = R.  Así, el dominio de la función fg  es Dfg = Df ∩ Dg = R - { -2, 2 }.
d) . Así, .

Una manera de construir nuevas funciones a partir de otras conocidas es utilizando el álgebra de las funciones con las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y el cociente. Cuando se construye una nueva función que es el cociente de dos funciones ya conocidas, se debe prestar atención al dominio de la nueva función cociente.

Como la nueva función es el cociente de dos funciones lo primero que se debe recordar es que la división por cero en los números reales no está definida, por tanto se debe garantizar que el denominador no se anule, además las expresiones del numerador y el denominador deben existir para cualquier valor real. Si se tienen en cuenta las observaciones anteriores y se considera una función h  tal que:


El dominio de la función h es .


Ejemplo 7
a)
b)

Solución:
a)
b)


Ejemplo 8
Las Tablas 11 y 12 representan todos los valores de las funciones y = f(x)  e  y = g(x).


a) Halle (f/g)(5)
b) Encuentre los valores de x  tal que (f/g)(x)  no exista. Justifique su respuesta.
c) Halle el dominio para la función (f/g)(x)
d) Complete la Tabla 13:


Solución:
a) .
b) (f/g)(4),  no existe puesto que la función g(x)  no está definida para x = 4. Cuatro no pertenece al dominio de g,  por lo tanto no pertenece a la intersección del dominio de f  y del dominio de g.
c) El dominio de la función (f/g)(x)  es igual al dominio de la función f  intersectado el dominio de la función g,  por tanto el dominio de (f/g)(x)  es el conjunto { 2, 5, 8 }.
d) La Tabla 13 de (f/g)(x)  se obtiene de dividir los valores de las imágenes de los números que pertenecen al dominio de f/g,  esto está resumido en la Tabla 14:


-9 y 4 no pertenece al dominio de g,  por lo tanto no pertenece a la intersección del dominio de f  y del dominio de g.


Ejemplo 9
En la Gráfica 22 se observan las gráficas de las funciones f  y g


a) Evalúe (f/g)(2).
b) Encuentre al menos un valor de x  tal que (f/g)(x) no exista. Justifique su respuesta.
c) Halle el dominio para la función (f/g)(x).
d) Haga la gráfica de (f/g)(x)  para x ∈ ( 0, 1 ].

Solución:
a) .
b) Un valor de x  donde la función: f/g  no existe es cuando toma el valor de x = -0.5, puesto que para este valor de x  la función g  no está definida.
c) El dominio de la función (f/g)(x)  se halla haciendo la intersección del dominio de la función f  y el dominio de la función g,  excluyendo todos los valores de x  que hacen la función g  tome el valor de cero. Por tanto el dominio de f/g  en la situación planteada es el intervalo ( 0, 2 ].
d) La Gráfica 23 representa la gráfica de (f/g)(x)  para x ∈ ( 0, 1 ].



Ejemplo 10
Sean y las reglas de asignación de las funciones f y g respectivamente.
a) Evalué .
b) Encuentre al menos un valor de x tal que (f/g)(x)  no exista. Justifique su respuesta.
c) Halle el dominio para la función (f/g)(x) .
d) Dé la regla de asignación para la función (f/g)(x) .

Solución:
a) .
b) Un valor de x  donde la función f/g  no existe es cuando toma el valor de x = -2,  puesto que g(-2) = 0  y la división por cero no esta definida en los números reales.
c) El dominio de la función (f/g)(x)  se halla haciendo la intersección del dominio de la función f  y el dominio de la función g,  excluyendo todos los valores de x  que hacen la función g  tome el valor de cero y en este caso se tiene que el dominio de la función f  es el conjunto de los números reales (R) y dominio de la función g es el intervalo [ -2, 2 ]. Por tanto, el dominio de ( f/g )  en la situación presentada es el intervalo R ∩ [ -2, 2 ]   excepto los valores de x = 2  y x = -2,  puesto que para estos valores se anula el denominador, finalmente el dominio de ( f/g )  es el intervalo ( -2, 2 ).
d) La regla de asignación para la función , x ∈ ( 0, 1 ].

Las funciones como objetos matemáticos que son, bajo ciertas restricciones se pueden combinar no sólo como suma, resta, producto y cocientes de dos o más de ellas para generar nuevas funciones si no que se pueden componer para construir otras funciones muy usadas en el cálculo diferencial e integral: la función compuesta.

Sea f : A → B  y g : B → C  un par de funciones tal que el rango de f  está contenido en el dominio de g,  es decir, ( Rangof ⊆ Dominiog )  se puede definir una nueva función h  llamada g  compuesta f.

Por tanto, la regla de asignación de la nueva función h  se define de la siguiente manera:


En otras palabras la función g  compuesta f: no es más que evaluar la función f  en la función g,  ver Gráfica 24;


Un ejercicio que se presenta usualmente en las matemáticas fundamentales es encontrar el dominio de la función h cuya regla de asignación viene dada por la composición de g  compuesta f  sin conocer inicialmente su regla de asignación sino ajustándose a la definición dada arriba, es decir, ( Rangof ⊆ Dominiog ).

Es muy importante resaltar que en general, dos funciones arbitrarias no se pueden componer y además puede suceder que el dominio de la función compuesta sea muy distinto al de dominio de la función cuya regla de asignación coincide con el de la función compuesta.


Definición 3
Dadas dos funciones f  y g,  la función compuesta tiene el siguiente dominio:

Dominio h(x)= { x ∈ Dominio de f talque f(x) ∈ Dominio de g}.

En otras palabras está definida siempre que f(x)  y g(f(x)), estén definidas.

Ejemplo 11
Si f(x) = √x - 1  y g(x) = x ²  determine el dominio de la función y luego calcule su regla de asignación.

Solución:
El dominio de la función f es { x ∈ R : x ≥ 1};  El dominio de la función g es R y se tiene por definición que Dominio h(x)  es { x ∈ Dominio de f talque f(x) ∈ Dominio de g}.
Por lo tanto, el dominio h(x)  son los { x ∈ R : x ≥ 1};  tales que √x - 1 ∈ R.  Pero es evidente que √x - 1  siempre está en R  porque x ≥ 1   y se concluye que el dominio de coincide con el dominio de f,  es decir, Dominio h(x): { x ∈ R : x ≥ 1}

Ahora se procede a calcular la regla de asignación de :


Es conocido que el dominio de la función h(x) = x - 1  aisladamente es todo R;  que en este caso no coincide con el dominio de la función compuesta que tienen la misma regla de asignación pero diferente su dominio, por consiguiente son dos funciones distintas.


Ejemplo 12
Las Tablas 15 y 16 representan todos los valores de las funciones y = f(x)   e  y = g(x):


a) Halle .
b) Halle un valor de x para el cual no esté definido.
c) Halle el dominio de .
d) Elaborar la tabla de .

Solución:
a) Según las Tablas No 15 y 16 se tiene: = g(f(1)) = g(3) = 8
b) Un valor de x  para el cual no este definida es x = 2,  porque . Pero se puede observar que para el valor x = 10  la función g  no está definida.
c) El dominio de la función f  es el conjunto: { 1, 0, -1, 2, -3, -2/3}  y su rango es el conjunto: { 3, -1, 7, 10, 8, 6 },  y se conoce también que el dominio de la función g  es el conjunto: { 1, 7, -1, 8, 3, -2/3 }.  Por definición el Dominio h(x)  es { x ∈ Dominio de f(x) talque ∈ Dominio de g},  por lo tanto, el dominio de h(x) es el conjunto { 1, 0, -1, -3 }.
d) La Tabla 17 se construye de manera puntual así: , , y por último .


Ejemplo 13
Use la Gráfica 25 para evaluar cada una de las siguientes expresiones, o bien explique por qué no están definidas.


a) Halle .
b) Halle un valor de para el cual no esté definido, si existe.
c) Halle el dominio de .
d) Evalúe en en x = -2,  x =-1,  x = 1  y  x = 2.

Solución:
a) De la Gráfica 25 se observa que f(0) = 2  y  g(2) = -1,  por lo tanto .
b) De la Gráfica 25, se observa que siempre está definida porque el rango de f  es [ 0, 2, ] y el dominio de g  es [ -2, 2 ] y por tanto se cumple que Rangof ⊆ Dominiode g.
c) El dominio de es el intervalo [ -2, 2 ] que es el dominio de f.
d) En algunas valoración se han hecho lecturas aproximadas y para eso se utiliza el símbolo de aproximación: , , y


Ejemplo 14
Dada las reglas de asignación de las funciones:

  y   .

a) Halle .
b) Halle un valor de x  para el cual no esté definido.
c) Halle el dominio de .
d) Hallar la regla de asignación para la función .

Solución:
a)
b) Un valor de x  para el cual no esté definida es x = ½,  porque y se sabe que √-1  no pertenece al conjunto de los números reales.
c) El dominio de la función f  es: { x ∈ R : x ≠ 1};  El dominio de la función g  es { x ∈ R : x ≥ 1};  y se tiene por definición que:
Dominio es { x ∈ Dominio de f talque f(x) ∈ Dominio de g }. Por lo tanto, el Dominio es el conjunto { x ∈ R : x ≠ 1};  tales que ∈ R,  es decir, los X ∈ R  tal que , resolviendo la última desigualdad se tiene como conjunto solución: ( -∞, 0 ] ∪ ( 1, ∞ ), conclusión:
Dominio = ( -∞, 0 ] ∪ ( 1, ∞ )
d)


Ejemplo 15
Se deja caer una piedra en un lago que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm/s.

a) ¿Cuál es el radio de un círculo cuando t = 2 segundos?
b) Exprese el radio de una onda como función del tiempo t (en segundos).
c) ¿Cuál es el área del círculo formado por la onda cuando t = 2 segundos?
d) Exprese el área de un círculo generado por una onda como función del tiempo t (en segundos) y describa su dominio.

Solución:
a) El radio de un círculo cuando t = 2 segundos es igual a 120 cm.
b) El radio de una onda como función del tiempo t (en segundos) es igual a r(t) = 60t (cm).
c) El área del círculo formado por la onda cuando t = 2 segundos es π(120cm) ² ≈ 14400cm ².
d) A(t) = π(r(t)) ² = π(60cm) ² t ≥ 0.