Ejemplo 1
¿La función que contiene sólo los puntos representados en la Gráfica 1 es una función uno a uno?


Solución:
Se observa en la Gráfica 1 que para cada par de valores de x  distintos, sus respectivas imágenes también son distintas, por lo tanto la función representada por la gráfica es una función uno a uno.


Ejemplo 2
¿La funciones f  y g,  que toma sólo los valores dados en las Tablas 1 y 2 respectivamente, son uno a uno?



La función f  representada por la Tabla 1 es uno a uno porque para cada dos valores diferente de x,  se obtiene valores diferentes para y.

La función g  representada por la Tabla 2 no es uno a uno, porque existen dos valores de x  diferentes que tienen la misma imagen, como es el caso de x = -0.7   y x = 3.1,  que son diferentes y cuya imagen es y = 2.


Ejemplo 3
¿Las funciones f(x) = | x |  y g(x) = x ³,  son uno a uno?

La función f(x) = | x |  no es uno a uno porque existen infinitos valores distintos x,  de su dominio, que tienen la misma imagen; como es el caso de x = -3  y x = 3  cuyas imágenes f(-3) = | -3 | = 3 y f(3) = | 3 | = 3 , son iguales.

La función g(x) = x ³,  es una función estrictamente creciente (ver función creciente y decreciente) por lo tanto al tomar cualesquiera dos parejas diferentes de x, de su dominio, sus imágenes siempre serán diferentes, por lo tanto la función g es uno a uno.


Definición 1
Sean ( x1, f(x1) )  y  ( x2, f(x2) )  cualesquiera dos parejas ordenadas de una función f.  Si x1 ≠ x2  implica que f(x1) ≠ f(x2)  entonces f  es una función uno a uno o inyectiva. O equivalentemente: Si f(x1) = f(x2)  entonces x1 = x2.


Definición 2
Una función f  no es uno a uno si existen al menos dos parejas ordenadas ( x1, f(x1) )  y  ( x2, f(x2) )  que tengan cumplan que f(x1) = f(x2)  siendo x1 ≠ x2.

Toda función estrictamente creciente o decreciente en un intervalo, es uno a uno.


Ejemplo 4
¿Es la función f  cuya gráfica es Gf = { ( 0, 3 ), ( 2, 3 ), ( 4, 7 ) }, uno a uno?

Solución:
La función f(x)  no es uno a uno, porque las parejas ordenadas ( 0, 3 ), ( 2, 3 ) tienen la misma segunda componente, y las primeras componentes diferentes, lo que contradice la definición de función uno a uno.


Ejemplo 5
¿Es la función f,  definida sólo para los valores dados en la Tabla 3, uno a uno?


Solución:
La función no es uno a uno, porque f(-3) = f(-1) = 2   y -3 ≠ -1. ¿Encuentra usted otras parejas que también contradicen la definición de f  uno a uno?


Ejemplo 6
¿La función g,  definida sólo para los valores dados en la Tabla 4, es uno a uno?


Solución:
La función g  es uno a uno, porque todos los valores de su dominio como sus respectivas imágenes son diferentes. Es decir, no hay dos parejas ordenadas que tengan diferentes sus primeras componentes e iguales sus segundas componentes.

Observe que el dominio de la función g , es el dominio de la función f , dada en el Ejemplo 5, quitándole los elementos: -2, -1 y 1. A este procedimiento se le denomina restricción del dominio.

De una función que no es uno a uno, se puede obtener una función uno a uno, restringiendo adecuadamente su dominio.


Ejemplo 7
¿La función f(x) = x ²  es uno a uno en todo su dominio?

Solución:
No, porque f(-2) = f(2) = 4  y  -2 ≠ 2;  lo que contradice la definición. Si el dominio restringido es, por ejemplo, el intervalo [ 0, ∞ ) entonces f(x) = x ²  es uno a uno.


Ejemplo 8
¿La función f(x) = 2x ² - 8  es uno a uno en todo su dominio?

Solución:
La función f  es uno a uno o inyectiva en su dominio, si cumple: f(x1) = f(x2)  implica que x1 = x2,  siendo números reales.


Por lo tanto, la función f(x) = 2x ² - 8  no es uno a uno o inyectiva en su dominio.

Interpretación gráfica:
En la gráfica de y = 2x ² - 8,  se observa que f(-2) = f(2) pero -2 ≠ 2, lo que niega la definición de función uno a uno, ver Gráfica 2.

Si el dominio restringido para la función f(x) = 2x ² - 8,  por ejemplo, es el intervalo ( -∞, 0 ] entonces la función f(x) = 2x ² - 8,  es estrictamente decreciente y por lo tanto es uno a uno. No todas las funciones son uno a uno en todo su dominio.

Existe un criterio gráfico (una prueba) para saber si una función f  es uno a uno o no, conocida su gráfica. Este criterio se conoce con el nombre: criterio de la recta horizontal.

El uso de este criterio gráfico establece que: si al trazar la recta y = b,  en la gráfica de f,  donde b  es cualquier valor del rango de f  y si esta recta horizontal intersecta a la gráfica de f  a lo más en un sólo punto, entonces la función f es uno a uno. En caso contrario f  no es uno a uno.


Ejemplo 9
Dadas las Gráficas del 3 al 6, ¿Cuál de ellas representa una función uno a uno?





Solución:
Usando el criterio de la línea horizontal (ver las Gráficas 7, 8, 9, 10) la única función uno a uno, es y = h(x).

Observe que la recta horizontal, dibujada, intersecta a las funciones: f,  g  e i  en más de un punto, luego no son uno a uno.





Ahora se describe un método importante para obtener funciones nuevas a partir de otras conocidas, entre ellas están las funciones uno a uno y a partir de estas podemos obtener otras funciones que reciben el nombre de funciones inversas.

Una función que invierte, o deshace lo que otra función f  hace, se denomina inversa de f .


Ejemplo 10

Sea y = f(x)  una función con dominio D = { 1, 2, 3, 4 }  y rango R = { 4, 5, 6, 7 }  y su gráfica son los puntos { ( 1, 4), ( 2, 5), ( 3, 6), ( 4, 7) }.

Sea y = g(x)  una función con dominio D = { 4, 5, 6, 7 }  y rango R = { 1, 2, 3, 4 }  y su gráfica son los puntos { ( 4, 1), ( 5, 2), ( 6, 3), ( 7, 4) }.

Se observa que:

f:  Envía 1 en 4 y g:  envía 4 en 1
f:  Envía 2 en 5 y g:  envía 5 en 2
f:  Envía 3 en 6 y g:  envía 6 en 3
f:  Envía 4 en 7 y g:  envía 7 en 4

Observe que:

- El dominio de f,  es el rango de g,  y el rango de f  es el dominio de g .
- Tanto f  como g  son funciones uno a uno.
- La función g  deshace o invierte lo que hace f .

Por lo tanto, se dice que la función g  es la inversa de la función f  o viceversa.


Ejemplo 11
Todos los valores de las funciones f  y g  están dados por las Tablas 5 y 6 respectivamente,:



¿Son las funciones f  y g  una inversa de la otra?

En las dos tablas, se verifica que el dominio de f  es el rango de g  y el dominio de g  es el rango de f .

Observe que la regla de f  invierte la de g  o viceversa. Pero la Tabla 6 no representa una función, porque x = 3 tiene dos imágenes -1 y 2, lo que contradice la definición de función, por lo tanto no se puede encontrar una función inversa para g , porque ni siquiera g  es función.

Además, si se analiza la Tabla 6, se observa que es función pero los elementos -1 y 2 tienen la misma imagen 3, lo que contradice la definición de función uno a uno y por lo tanto f  no admite inversa ya que no es función uno a uno, entonces f  y g  no son funciones inversas.

Los dos ejemplos anteriores nos garantiza que para que una función admita inversa, ésta debe ser una función uno a uno.


Definición 3
Sea f(x)  una función uno a uno o inyectiva, con dominio A  y rango B , entonces la función f  tiene por inversa otra función, que se simboliza con dominio B  y rango A,  tal que:


A partir de la definición se puede afirmar que:

- La función f admite inversa si y sólo si f  es una función uno a uno.
- El dominio de la función inversa , es el rango de f  y recíprocamente, el rango de es el dominio de f.

Como también: si y sólo si y = f(x)

Utilizando las letras x,  y que tan acostumbrados estamos a usarlas cuando se habla de funciones, lo anterior se puede escribir y también representar mediante un diagrama de flechas:


Otra forma de escribir lo anterior es:

si y sólo si y = f(x)  entonces al reemplazar y = f(x)  en la primera expresión, se obtiene , donde x  está en el dominio de f.

si y sólo si x = f(y)  entonces al reemplazar en la segunda expresión, se obtiene , donde x  está en el dominio de .

Es decir, que la composición (función compuesta) entre las funciones f  y , se obtiene la función identidad I(x) = x.

Las gráfica de las funciones f  y al dibujarlas, en un mismo sistemas de ejes, son simétricas con respecto a la recta y = x,  es decir, que los puntos ( a, b ) de f  y ( b, a ) de equidistan de la recta y = x.

Toda función estrictamente creciente o decreciente en un intervalo, es uno a uno y por lo tanto admite inversa en dicho intervalo.

Ejemplo 12
Halle la función inversa de f(x) = 3x - 1  con X ∈ R.

Solución:
La función f  es una función lineal con pendiente positiva, por lo tanto es una función estrictamente creciente en todo su dominio. Por lo tanto admite inversa en todo su dominio.

Como f(x) = 3x - 1  y por definición entonces .
Despejando , se obtiene
Entonces es la inversa de f(x) = 3x - 1.

Comprobación

Si f  toma x = 2  de su dominio, entonces f(2) = 3(2) - 1 = 5,  es decir el punto ( 2, 5 ) pertenece a la gráfica de la función f, ahora lo que significa que el punto ( 5, 2 ) pertenece a la gráfica de la función .

Método alterno

La inversa de una función también se puede hallar por el siguiente método:
Sea f(x) = 3x - 1,  la función del ejemplo anterior o equivalentemente y = 3x - 1.  Al despejar x  en términos de y  se obtiene , luego la inversa en términos de y  es y al expresarla en términos de x  se obtiene , que es la misma función que se obtuvo en el anterior procedimiento.


Ejemplo 13
La Gráfica 12 representa la función y = f(x).  Dibuje la gráfica de su función inversa.


Solución:
La función representada en la Gráfica 12 es estrictamente creciente luego es uno a uno y por lo tanto admite función inversa.

Al trazar cualquier recta horizontal por cualquiera de los valores de su rango, esta recta intersecta sólo un punto de la gráfica de f,  luego se prueba que f  es una función uno a uno.

Para trazar la gráfica de , conocida la gráfica de f  (que admite inversa) se debe considerar que: las gráficas de f  y son simétricas con respecto a la recta y = x.

Al tomar los infinitos puntos de f,  se obtienen los infinitos puntos de , pero que ambos sean equidistantes de la recta y = x

Así, por ejemplo, sí
( 0, 2 ), está en f  entonces ( 2, 0 ) está en la gráfica de .
( 5, 7 ), está en f  entonces ( 7, 5 ) está en la gráfica de .
( 8, 15 ), está en f  entonces ( 15, 8 ) está en la gráfica de .


En la Gráfica 13 está representada la forma como se encuentra la gráfica de una función inversa.

Puntos que se pueden observar fácilmente en la gráfica anterior, como también se puede observar que la distancia de cada uno de estos puntos a la recta y = x,  son iguales.

En general, si ( a, b )  es un punto de la gráfica de f  entonces ( b, a ) es también un punto de la gráfica de . Además, estos dos puntos deben equidistar de la recta y = x.


Ejemplo 14
Si todos los valores de una función f  están dados por Tabla 7,


¿La función f  admite inversa?

Solución:
La función f  dada en la Tabla 7 no es uno a uno, porque existen dos puntos ( -3, 4 ) y ( 1, 4 ) que tienen sus segundas componentes iguales, y las primeras componentes diferentes, lo que contradice la definición de función uno a uno, por lo tanto la función f  no admite inversa.