La teoría de conjuntos fue desarrollada alrededor de 1890 por el matemático Georg Cantor (1845-1918). Él definía este concepto diciendo: “Se entiende por conjunto la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición y de nuestra mente”. Así pues, en la idea innata que se posee sobre conjunto se deben diferenciar dos cosas:
Por una parte, se entiende que un conjunto es un todo con entidad propia: Este libro o conjunto de hojas, el plano real o conjunto de puntos, etc.
Y por otra, que el conjunto está formado por otras entidades que llamamos elementos: La hojas del libro, los puntos del plano, etc.
Un conjunto se puede describir de dos maneras por comprensión, cuando se enuncia la ley o proposición abierta -si se puede enunciar- que cumplen los elementos del conjunto; o por extensión, listando todos y cada uno de los elementos que posee. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre llaves, separándolos por coma cuando se da por extensión.
Ejemplo
A = { x : x es un dígito } está dado por comprensión.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} está denotado por extensión.
Si el conjunto tiene un número infinito de elementos, para describirlo por extensión se listan los cinco primeros elementos para observar la ley de formación y se escriben puntos suspensivos.
Ejemplo
B = { x : x es un número que se utiliza para contar} está dado por compresión.
B = {1, 2, 3, 4, 5...} está denotado por extensión.
La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto. El símbolo se utiliza para indicar que el elemento pertenece al conjunto y en el caso que no pertenezca.
Ejemplo
Sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5...}.
2 ∈ A, porque 2 es un dígito si lo examinamos por comprensión o porque está separado por coma entre el 1 y el 3 por extensión.
20 ∉ A, porque 20 no es un dígito o porque no lo vemos separado por coma en los 10 elementos que aparece en la descripción por extensión.
a ∉ B, porque a no es un número que se emplee para contar.
La relación de inclusión o subconjunto se da entre conjuntos. Los símbolos ⊂ ó ⊆ se emplean para indicar que un conjunto está contenido en otro y ⊄ se emplea para indicar que un conjunto no está contenido en otro.
Sean D y E conjuntos. D ⊆ E, se lee D es subconjunto de E, D está contenido en E o E contiene a D y significa que todo elemento de D es elemento de E. Si D ⊆ E significa que si X ∈ D entonces x ∈ E. En la Figura 35 se tiene la representación gráfica de D ⊆ E.
D ⊆ E, se lee D es subconjunto propio de E, y significa que todo elemento de D es elemento de E y que en E existe por lo menos un elemento que no tiene D. D ⊄ E, se lee D no está contenido en E, y significa que D tiene por lo menos un elemento que no pertenece a E. D = E, se lee D es igual a E, y significa que D ⊆ E y E ⊆ D.
Ejemplo
Sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , B = {1, 2, 3, 4, 5...} y C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. Para estos conjuntos se cumple que:
A ⊄ B porque 0 ∈ A y 0 ∉ B.
C ⊂ B porque todo elemento de C es elemento de B y además 1 ∈ B y 1 ∉ C.
A ⊆ A porque todo elemento de A es elemento de A.
Ejemplo
Sean M = {1, 2, 2, 2, 3} y P = {1, 2, 3}. Para estos conjuntos se cumple que:
M = P porque M ⊆ P ya que todo elemento de M es elemento de P y además P ⊆ M, es decir, todo elemento de P es elemento de M.
Las operaciones entre conjuntos permiten generar nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados. La unión, intersección, diferencia son algunas operaciones. En lo que sigue A y B denotarán dos subconjuntos del conjunto de referencia U. El conjunto referencial o universal es el conjunto que contiene todos los elementos, denotado por U. La proposición ∀x, x ∈ U es verdadera. La proposición A ⊆ U, para todo conjunto A es verdadera porque la implicación 
es verdadera, ya que el consecuente es verdadero. Gráficamente el conjunto universal se representa por un rectángulo, ver Figura 36.
Unión. La unión de los conjuntos A y B, denotado por A ∪ B, es A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}. El símbolo “∨” se lee “o”. La Figura 37 muestra gráficamente A ∪ B.
Intersección. La intersección de los conjuntos A y B, denotado por A ∩ B, es A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}. El símbolo “∧” se lee “y”. La Figura 38 muestra gráficamente A ∩ B.
Dos conjuntos son disyuntos o excluyentes si no tienen elementos en común. Es decir, los conjuntos A y B son disyuntos si A ∩ B = ∅, ver Figura 39.
Diferencia. La diferencia A - B, es A - B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∉ B}, ver Figura 40.
Ejemplo: Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}, A = {1, 3, 5, 7, 12, 15} y B = {0, 2, 3, 4, 7, 8, 12}. Halle A ∪ B, A ∩ B, A - B, B - A.
Para encontrar los conjuntos pedidos se ubican los conjuntos U, A y B en un diagrama de Venn-Euler, ver Figura 41.
Los subconjuntos de los números reales y sus formas de representación.
Los subconjuntos de los números reales pueden ser finitos o infinitos y cada uno de estos subconjuntos admiten básicamente cuatro formas de representación: gráfica empleando la recta numérica, usando intervalos, por extensión y por comprensión.
A continuación se da la definición de los diferentes intervalos de números reales y sus formas de representación. Los intervalos por tener un número infinito y denso de elementos no se pueden escribir por extensión.
Intervalo abierto. Si a, b son dos Números Reales, y a < b, entonces el Intervalo abierto (a, b) está conformado por todos los números Reales mayores que entre a y menores que b. Por comprensión: (a,b) = { x ∈ R : a < x < b} y utilizando la recta numérica, la Figura 42 muestra dos formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo cerrado. Si a, b son dos Números Reales, y a < b, entonces el Intervalo cerrado [a,b] está conformado por todos los números Reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Por comprensión: [a,b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, y utilizando la recta numérica, la Figura 43 muestra dos formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Si a, b son dos Números Reales, y a < b, entonces el Intervalo [a,b) está conformado por todos los números Reales mayores o iguales que a y menores que b. Por comprensión: [a,b) = { x ∈ R : a ≤ x < b}, y utilizando recta numérica, la Figura 44 muestra dos formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha. Si a, b son dos Números Reales, y a < b, entonces el Intervalo (a,b] está conformado por todos los números Reales mayores que a y menores o iguales que b. Por comprensión: (a,b] = { x ∈ R : a < x ≤ b}, y utilizando recta numérica, la Figura 45 muestra dos formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo abierto a la derecha. El intervalo (-∞ , a) está conformado por todos los números Reales menores que a. Por comprensión: (-∞ , a) = {x ∈ R : x < a}, donde significa que el intervalo se extiende de manera indefinida en la dirección negativa; en recta numérica, la Figura 46 muestra tres formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo cerrado a la derecha. El intervalo (-∞ , a] está conformado por todos los números Reales menores o iguales que a. Por comprensión: (-∞ , a] = {x ∈ R : x ≤ a y utilizando la recta numérica, la Figura 47 muestra tres formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo abierto a la izquierda. El intervalo (a, ∞) está conformado por todos los números Reales mayores que a. Por comprensión: (a, ∞) = { x ∈ R / x > a}, donde ∞ significa que el intervalo se extiende de manera indefinida en la dirección positiva; en la recta numérica, la Figura 48 muestra tres formas en que se puede representar gráficamente.
Intervalo cerrado a la izquierda. El intervalo [a, ∞) está conformado por todos los números Reales mayores o iguales que a. Por comprensión: [a, ∞) = { x ∈ R / x ≥ a} y empleando la recta numérica, la Figura 49 muestra tres formas en que se puede representar gráficamente.
El conjunto de los Números Reales. El signo para representar los Números Reales es R. En forma de intervalo se denota por (-∞ , ∞) y en la recta numérica, la Figura 50 muestra tres formas en que se puede representar gráficamente.
Intersección de Intervalos de números Reales con el conjunto de los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.
La intersección de cualquiera de los conjuntos numéricos Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q) e Irracionales (I), con alguno de estos intervalos, da como resultado los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales que pertenezcan al intervalo; por ejemplo, si se tiene el intervalo [-4, 9) y se hace la intersección con los Naturales, el resultado es: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, que se puede expresar como:
{ x ∈ N : -4 ≤ x < 9} = { x ∈ N : -4 < x ≤ 8} = { x ∈ N : 0 < x < 9} = { x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 8} ó [-4 9) ∩ N por comprensión. La Figura 51 muestra su representación gráfica.
Si se hace la intersección con los Enteros, el resultado es: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, que se puede expresar como:
{ x ∈ Z : -4 ≤ x < 9} = { x ∈ Z : -4 ≤ x ≤ 8} = { x ∈ Z : -5 < x < 9} = { x ∈ Z : -5 < x ≤ 8} ó [-4 9) ∩ Z y su representación gráfica se encuentra en la Figura 52.
Si se hace la intersección con los Racionales, dará como resultado un número infinito de Racionales y sólo se podrá expresar de las siguientes formas: [-4 9) ∩ Q y { x ∈ Q : -4 ≤ x < 9}. La Figura 53 muestra una de las representación gráfica admitidas.
De forma igual sucede con los Irracionales, si se hace la intersección con los Irracionales, dará un conjunto con un número infinito de Irracionales, y sólo se podrá expresar de las siguientes formas: [-4 9) ∩ I y { x ∈ I : -4 ≤ x < 9} = { x ∈ I : -4 < x < 9}. En la Figura 54 se muestra dos representaciones gráficas de este conjunto.
Como se puede ver, el -4 se puede o no incorporar en el conjunto, ya que -4 no es Irracional, mientras que en la gráfica de los Racionales, si se incorpora, ya que el -4 es Racional.