Los Números Racionales positivos aparecen en diversos contextos, uno de ellos tiene que ver con la partición de algo considerado como unidad. La Unidad puede ser representada de diversas formas: un segmento de recta, un círculo, un rectángulo, un cubo, un cono, un cilindro, un conjunto con varios elementos, el área de una figura geométrica, el volumen de una figura geométrica, etc.

En esta parte, se considerarán dos casos: La Unidad considerada como una figura geométrica que se divide en n partes y la Unidad considerada como un conjunto de n elementos.

La Unidad considerada como una figura geométrica.

En la Figura 1, el cilindro se considerará como la unidad, y se ha divido en seis partes iguales, cada parte en la que ha quedado dividido el cilindro recibe el nombre de un sexto y se puede representar por el Número Racional positivo  , donde el 6 indica las partes en las que se ha dividido la unidad y el 1 indica que es sólo una parte de las seis.

Si se toman dos partes en las que ha quedado dividida la unidad, el Número Racional positivo que la representa es  (representado por la parte sombreada en la Figura 2), donde el 6 indica las partes en las que se ha dividido la unidad y el 2 indica dos partes de las seis.



Tanto el , como el se les llama fracciones. Una fracción es de la forma donde n es el número de partes en que se ha dividido la unidad, llamada denominador, y m el total de porciones que se han tomado de la unidad, llamado numerador.

La palabra fracción da a entender que es menor que la unidad, pero existen casos en los que la fracción puede ser mayor que la unidad. Observando la Figura 3, se puede apreciar que aparecen dos unidades divididas en seis partes. Si se toma la parte sombreada como las partes que se toman de la unidad, la primera representa seis sextas partes, , de la unidad, que en este caso es igual a la unidad; mientras que la segunda representa una sexta parte de la unidad; Si se considera la totalidad de las partes sombreadas en la Figura 3 , éstas representan de la unidad. En este caso, se está representando la fracción , la cual es mayor que la unidad.


La unidad considerada como un conjunto de elementos.

En la Figura 4 se puede observar que en el rectángulo se encuentran 17 círculos pequeños; si el conjunto de círculos se toma como unidad, cada círculo representa una diecisieteava parte del conjunto de círculos; en éste caso la fracción .

En la Figura 5, se han rellenado 8 círculos de negro; si se toma el conjunto de todos los círculos como unidad, esta cantidad de círculos representa ocho diecisieteavas partes del conjunto, que en fracción es .


En la Figura 6 aparecen dos rectángulos con 17 círculos pequeños, en uno de ellos aparecen todos rellenos de negro, mientras que en el otro aparecen sólo cinco rellenos de negro. Si se toma como unidad la cantidad de círculos encerrados en un rectángulo, la fracción que representan los círculos negros en el rectángulo de la izquierda es , y la fracción que representa los círculos negros del rectángulo de la derecha es , que es igual a la unidad. Si se toma la cantidad de círculos negros que hay en los dos rectángulos, ellos representan la fracción , la cual es mayor que la unidad.


En general, si se tiene un conjunto de n elementos, un elemento representa una n-ésima parte del conjunto, la cual se puede representar con la fracción ; y si se consideran m elementos del conjunto, estos se pueden representar por medio de la fracción . La fracción es menor que la unidad si m es menor que n, y mayor que la unidad si m es mayor que n. En este último caso, para representar gráficamente la fracción, se tomarán 2, 3, 4 o más conjuntos iguales al que se ha tomado como unidad.


Otro de los contextos importantes para los Números Racionales positivos es su interpretación como RAZÓN. La RAZÓN, es el cociente entre dos números que pueden representar la cantidad de elementos de un conjunto, la longitud de segmentos, el área de figuras geométricas, el volumen de figuras geométricas, magnitudes físicas, etc.


Razón entre conjuntos. (Nivel 1)

En este parte, sólo se considerará la RAZÓN entre la cantidad de elementos de dos conjuntos y entre dos medidas del mismo orden de magnitud; en ambos casos, se hará su interpretación como un número Racional positivo. Aunque existan razones entre magnitudes de órdenes diferentes. Como el caso de la velocidad promedio, que es una Razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrer tal distancia, éstas no se considerarán en este apartado.


Razón entre magnitudes. (Nivel 2)

En la Figura 7 aparecen dos rectángulos, cada uno tiene una cantidad de elementos. Si establecemos la RAZÓN entre la cantidad de elementos del conjunto A y el conjunto B, vemos que obtenemos la fracción , que significa que por cada 8 elementos del conjunto A, hay 12 elementos del conjunto B; pero esta fracción es equivalente con la fracción , la cual se puede interpretar de la siguiente forma: por cada 2 elementos del conjunto A, hay 3 elementos del conjunto B.



En la Figura 8 aparecen dos rectángulos, el rectángulo A, con medidas: 10 centímetros de ancho y 4 centímetros de alto y el rectángulo B, con medidas: 10 centímetros de ancho y 8 centímetros de alto.

Si se establece la Razón entre sus anchos; es decir, es equivalente con el entero 1, lo que significa que por cada centímetro de ancho del rectángulo A, hay un centímetro de ancho en el rectángulo B.
Si se establece la Razón entre sus alturas; es decir, se obtiene la fracción , que significa que por cada centímetro de altura del rectángulo A, hay dos centímetros de altura del rectángulo B.


Si se hallan sus Áreas:

Área del rectángulo A= 10 centímetros x 4 centímetros = 40 centímetros.
Área del rectángulo B= 10 centímetros x 8 centímetros = 80 centímetros.
y se establece la razón entre sus áreas; es decir, y se establece la razón entre sus áreas; es decir, se obtiene la fracción , que significa que por cada centímetro cuadrado de área del rectángulo A, hay dos centímetros cuadrados de área del rectángulo B o, por cada dos centímetros cuadrados de área del rectángulo A hay cuatro centímetros cuadrados de área del rectángulo B y así sucesivamente, hasta llegar a la relación que por cada 40 centímetros cuadrados de área del rectángulo A, hay 80 centímetros cuadrados de área del rectángulo B.


Aunque el porcentaje en la escolaridad secundaria tiene un tratamiento independiente, y muchas veces no está asociado con el concepto de Número Racional, en esta parte se tratará sus diversas formas de representación y se harán los cálculos de porcentajes para diferentes situaciones.

Cuando se habla de un porcentaje A de una cantidad dada B, su significado es el siguiente: dividir B en 100 partes iguales y tomar la cantidad A de sus partes; es decir, si se habla del 30 por ciento (30%) de 1 unidad, la unidad se divide en 100 partes y se toman 30 de ellas, lo que corresponde al número Racional , que expresándolo en forma decimal es 0.3. Ahora, si se habla del 30% de una cantidad igual a 80, el porcentaje se obtiene dividiendo 80 en 100 partes y tomando (multiplicando por) 30 de esas partes, que corresponde a multiplicar 80 por la fracción , o multiplicar por el decimal 0.3. Por lo tanto, el porcentaje se puede expresar de tres formas:

1. Utilizando un número decimal; por ejemplo 0.22, que en fracción corresponde a y utilizando la simbología de porcentaje es 22%.
2. Utilizando la notación de porcentaje; por ejemplo 50%, que en fracción es , que es equivalente con la fracción , y en número decimal es 0.5.
3. Utilizando la notación de Número Racional Positivo; por ejemplo, , la cual hay que llevar a número decimal, dividiendo el numerador entre el denominador y luego llevarla a una fracción con denominador 100; es decir, , que es equivalente con la fracción , que aproximando a dos cifras decimales, y expresándola en su notación de porcentaje, corresponde a un 42.86%.


En este apartado se representarán diferentes elementos pertenecientes a los números Reales en la Recta Numérica, conocida como Recta Real. Se representarán algunos números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.

La Recta Real y la representación de números Naturales y Enteros.

Para representar los Números Reales en la Recta Numérica, hay que tener en cuenta lo siguiente:

1. Trazar una recta. (lo convencional es una recta horizontal).
2. Ubicar un punto origen y se les asigna el número cero (0), que es la coordenada del origen.
3. Establecer la longitud de un segmento como unidad.
4. Desde el origen y hacia la derecha se ubican puntos que se encuentren a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… unidades del origen y se les asigna, respectivamente, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … que serán las coordenadas de los puntos. En este caso corresponden a los Naturales.
5. Desde el origen y hacia la izquierda se ubican puntos que se encuentren a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … unidades del origen y se les asigna a cada punto, respectivamente, los números -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, … que serán las coordenadas de los puntos. En este caso los opuestos aditivos de los Naturales o Enteros negativos.

La Figura 9 ilustra los pasos de 1 a 5.


6. Para ubicar un punto en la recta, se hace un pequeño círculo, o una marca sobre la recta, y se nombra empleando letras mayúsculas; en el caso de la figura, los puntos marcados con A, B y C, en la Figura 10, tienen coordenadas: 3, -3 y -8 respectivamente.


La representación en la Recta Real de números Racionales.

La representación de los números Racionales en la recta real se puede hacer básicamente de dos formas:

La primera, si el número es de la forma , con m y n enteros y n distinto de cero, se puede representar partiendo cada unidad en n partes y tomando, desde el origen m de las partes (se tomarán hacia la derecha si el número Racional es positivo y hacia la izquierda si el número Racional es negativo). Por ejemplo: Si se desea ubicar en la recta el número Racional: , se procede de la siguiente forma:
1. Para ubicar , se divide, desde el origen, cada unidad en cuatro partes iguales, como es positivo, las unidades que se encuentren a la derecha del origen.
2. Se toman, en forma secuencial, siete partes en las que ha quedado dividida cada unidad. (Ver Figura 11).


La segunda, si el número se ha expresado en su forma decimal; para esto, se procede de la siguiente forma:

1. Si el número es de una cifra decimal, se divide la unidad en 10 partes iguales, la nueva división es la décima parte de la unidad y se representa como 0.1, y se toma la cantidad de décimas que tenga la representación decimal. Por ejemplo; si el número es 0.8, se procede de la siguiente forma, (ver Figura 12):



2. Si el número es de dos cifras decimales, se ubica el número con base en las décimas, luego se divide en 10 partes iguales el segmento comprendido entre la décima indicada por el número y la décima siguiente; cada nueva división corresponde a una centésima de la unidad y se representa como 0.01; posteriormente se toma la cantidad de décimas que tenga la representación decimal del número. Por ejemplo; si el número es 1.23, se ubica 1.2, y se divide en 10 partes iguales el segmento comprendido entre 1.2 y 1.3, cada división corresponde a 0.01, luego la primera división representaría 1.21, la segunda 1.22 y así sucesivamente hasta llegar a 1.3. (Ver Figura 13).


3. Si el número tiene 3 cifras decimales, se ubica el número teniendo en cuenta las centésimas, luego se divide en 10 partes iguales el segmento comprendido entre la centésima indicada por el número y la centésima siguiente; cada nueva división corresponde a una milésima de la unidad y se representa como 0.001; posteriormente se toma la cantidad de décimas que tenga la representación decimal del número. Por ejemplo; si el número es 2.014, se ubica el 2.01 siguiente el proceso anterior, luego se divide el segmento comprendido entre 2.01 y 2.02 en 10 partes iguales y se toman 4 de esas partes (milésimas).

4. Si el número tiene 4, 5, 6 o más cifras, se sigue el procedimiento haciendo divisiones de 10 a cada nueva unidad.


La representación en la Recta Real de algunos Irracionales.

En este apartado se presentará un proceso para localizar, en la recta numérica, cuatro números Irracionales:

Sobre una recta numérica se ha seguido el siguiente procedimiento:

• Se construye un triángulo rectángulo ABC donde los catetos tienen una longitud de 1 unidad, los vértices del cateto AB coinciden con los puntos de coordenadas 0 y 1, respectivamente, y el cateto BC es perpendicular a la recta numérica (ver Figura 14).



• Con centro en A, se traza media circunferencia de radio AC, de tal forma que corta a la recta numérica en dos puntos: D y E (Ver Figura 15). Si se aplica el Teorema de Pitágoras, que dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, se obtiene la longitud del segmento AC de la siguiente forma:


Como la longitud del segmento AC es igual a la del segmento AD y a la del segmento AE, entonces las coordenadas del punto D y E son respectivamente. (Ver Figura 15).


Si perpendicular a la recta numérica se traza un segmento de longitud EF cuya longitud es de una unidad (ver Figura 16). Con centro en A y radio AF, se traza otra semicircunferencia que corta a la recta numérica en los puntos G y H, y se aplica de nuevo el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del segmento AF, se obtienen las coordenadas de los puntos G y H, las cuales son respectivamente.


Tomando como base la definición de Notación Científica, en este apartado se trabajarán las diferentes formas en las que se pueden expresar cantidades demasiado grandes o muy pequeñas; donde se usa o se puede usar la Notación Científica.

La Notación Científica en las calculadoras.

Las calculadoras tienen una forma de escribir un número multiplicado por una potencia de 10. En ellas se pueden encontrar las siguientes notaciones: 1.23E14, 1.23 14 ó 1.23 ^14, en cualquiera de los casos está representando y es equivalente con el número 123000000000000.

Si la notación es: 1.23E-14 , 1.23 -14 ó 1.23 ^-14, en cualquiera de los casos está representando , que es equivalente con: 0.0000000000000123.

La Notación Científica para números con gran cantidad de ceros.

Los científicos utilizan la notación con potencias de 10 como una forma compacta de escribir cifras muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es aproximadamente de: 5 900 000 000 000 millas, lo cual se puede expresar como:


Otro ejemplo es el diámetro de un electrón, el cual es aproximadamente 0.000 000 000 000 4, el cual se puede expresar como:


La Notación Científica para números grandes expresadas en forma verbal.

Otra forma de expresar números muy grandes es la verbal; por ejemplo: 1245 millones de gramos o 346 millonésimas de gramo, en ambos caso, se puede pasar a una primera representación empleando gran cantidad de ceros y posteriormente expresarla en forma compacta utilizando notación científica. Es decir; 1245 millones es igual al número: 1245 000 000 que en notación científica es y 346 millonésimas es el número 0.000346, que en notación científica es .


A las figuras geométricas que aparecen en la Figura 17, se les asignarán los valores siguientes:

Al Segmento de recta, se le asignará el valor de una unidad.
Al Triángulo, se le asignará el valor de 10 unidades.
Al Rectángulo, se le asignará el valor de 100 unidades.
Al Pentágono, se le asignará el valor de 1000 unidades.
A la Circunferencia, se le asignará el valor de 10000 unidades.


Con base en tales asignaciones, se pueden obtener nuevas asignaciones:

El valor de 10 Triángulos es igual al valor de un Rectángulo.
El valor de 100 Triángulos es igual al valor de un Pentágono.
El valor de 1000 Triángulos es igual al valor de una Circunferencia.
Y una décima parte del valor de Triángulo es igual al valor del Segmento de Recta.

El valor de 10 Rectángulos es igual al valor de un Pentágono.
El valor de 100 Rectángulos es igual al valor de una Circunferencia.
La décima parte de un Rectángulo es igual al valor de un triángulo.
La centésima parte de un Rectángulo es igual al valor de un Segmento de Recta.

Representación Polinómica de Números Naturales.

Con base en estas figuras, y empleando el menor número de ellas se pueden representar ciertos números; por ejemplo; el número 4532. Este número se podría representar con 4532 segmentos, 453 Triángulos y dos segmentos, 45 Rectángulos, 3 Triángulos y 2 segmentos o con 4 Pentágonos, 5 Rectángulos, 3 Triángulos y 2 Segmentos; en el último caso, se emplea la menor cantidad de figuras.

Representación Polinómica de Números Racionales menores que 1 y mayores que cero.

Pero también se podrían representar números decimales si se cambia la unidad; por ejemplo, si la unidad se considera la circunferencia, se puede representar el decimal 0.2564, en este caso, una décima corresponde a un Pentágono, una centésima a un Rectángulo, una milésima a un Triángulo y una diezmilésima a un Segmento; por lo tanto el número se podría representar con 2564 Segmentos, 256 Triángulos y 4 Segmentos, 25 Rectángulos, 6 Triángulos y 4 segmentos o 2 Pentágonos, 5 Rectángulos, 6 Triángulos y 4 Segmentos.

Como se puede apreciar, las figuras conforman un sistema de representación de algunos números decimales.