En esta parte se van a comparar dos números en el mismo sistema de representación.

Si se tienen dos números Reales a, b, se dice que a es mayor que b si y sólo si la diferencia de a con b da como resultado un número positivo; es decir, si , a > b si y sólo si a - b > 0. De igual forma, si a y b son dos Números Reales, se dice que a es menor que b si la diferencia de b con a es un número positivo; es decir, si , a < b si y sólo si b - a > 0.

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede afirmar que:

6 es mayor que 4, porque 6 menos 4 es igual a 2, el cual es un número positivo. -5 < -3 porque -3 - (-5) = 3 + 5 = 2 es positivo.

porque , que es positivo por ser el cociente de dos números positivos.

porque , que es positivo porque 1 y 10 son positivos.

Para establecer que √8 > √7, se recurre a la siguiente propiedad: si y sólo si a > b, siempre y cuando sean Números Reales positivos. En este caso, √8 y √7 representan números Reales positivos, así que sólo resta mirar si 8 > 7 , lo cual es cierto empleando las comparaciones anteriores. Se puede comprobar que √8 > √7 haciendo el cálculo de √8 - √7 el cual da 0.1826758136... que es un número positivo.

En el caso, que sean Números Reales negativos, se convierten en positivos aplicando la siguiente propiedad: Si a,b son Números Reales positivos, -a > -b si y sólo si b > a; es decir, -3 > -5 es equivalente con 5 > 3.

En el caso de es equivalente con , que empleando el criterio anterior se cumple porque 60 > 57.

Para determinar que 0.24 > 0.235, se procede de forma semejante, se realiza la diferencia entre 0.24 - 0.235, teniendo en cuenta que deben tener la misma cantidad de decimales; en este caso 0.240 - 0.235 = 0.005, que es un número positivo.

Si se tienen dos números cuyas formas de representación son diferentes, se debe unificar la forma de representación para establecer la veracidad o falsedad de la comparación; por ejemplo: , que tiene dos posibilidades convertir 0.354 a su forma o a su forma decimal. Si 0.354 se convierte a la forma , se tiene que: , y si se toma la posibilidad de cambiar a su expresión decimal, se tiene que es , en cualquiera de los casos, 0.354 es mayor que .

Otro ejemplo es el siguiente: √13 > 3.6, como ambos son positivos, se puede usar la siguiente propiedad: si a > b, entonces ; es decir, , de donde se tiene que 13 > 12.96, lo cual es cierto; por lo tanto √13 > 3.6, es cierto. También se puede comprobar que √13 > 3.6 calculando la diferencia > 0.

En el caso que se presenten comparaciones donde las dos expresiones involucren operaciones entre números, se realizan las operaciones unificando la forma de representar los números hasta obtener un resultado y luego se comparan los resultados numéricos.

La comparación entre dos cantidades no siempre se da entre dos números dados, muchas veces se da entre dos expresiones que involucran variables y las variables se encuentran en un rango determinado. Un ejemplo de este tipo es el siguiente:.

Si x > 6 , para que valores de x es cierto afirmar que , en este caso, se deben tomar valores de x mayores que 6, y ver desde que valor la expresión dada empieza a ser cierta. Sea x = 6, entonces , que es mayor que 1, así que si se toman valores mayores que 6, siempre la expresión será verdadera.

Pero si se quita la condición que x > 6, y se piden algunos valores que hagan cierta y algunos valores que la hagan falsa, se deben asignar valores arbitrarios a la variable x hasta hallar algunos que cumplan y otros que no cumplan; en este caso, un valor que hace falsa la expresión es 0.5, porque , el cual es menor que 1.

• Hallar un número que sea mayor, menor o igual a un elemento de un subconjunto de los números reales. Los subconjuntos pueden ser discretos o continuos y dados en las cuatro formas de representación: Recta numérica, por extensión, por comprensión o utilizando intervalos.

Cuando se deben comparar dos expresiones algebraicas dada una condición inicial acerca de una variable se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

Ejemplos

Números mayores, mayores iguales, menores o menores iguales que cualquier número que pertenezca a un subconjunto de los números reales.

Considerando las cuatro posibles Intersecciones de Intervalos de números Reales con el conjunto de los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales, y su representación en la recta, se pueden hallar números que sean mayores o iguales que cualquiera de los números del conjunto; por ejemplo, en el primer caso: , , su representación gráfica está en la Figura 23.

Existen infinitos números que son mayores o iguales que cualquiera de los números del conjunto; por ejemplo: Números Naturales mayores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto: 8, 9, 10, 100, etc. Números Enteros mayores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto 8, 9, 10, 100, etc. Números Racionales Mayores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto: 8,9,10,100, , , etc. Números Irracionales mayores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto: 3π, √65, etc.

El menor de todos los números que son mayores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto, es 7, que es Natural, Entero, Racional y Real, pero no es Irracional.

Si se toma el cuarto caso, y se quieren hallar los números menores o iguales que cualquier elemento del conjunto dado: y .

Admitiendo la siguiente representación para los irracionales, ver Figura 24:

,

Se puede observar que existen infinitos números que son menores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto; por ejemplo: En el conjunto de los Números Enteros: -3, -4, -5, -6, -200, etc.; en el conjunto de los Números Racionales: -3, -4, -5, -6, -200, , -3.001, etc. En el conjunto de los Irracionales: -π, -4.123456789110111213, etc., pero en el conjunto de los Números Naturales no existen números que sean menores o iguales que cualquiera de los elementos del conjunto.

El mayor número que es mayor o igual que cualquiera de los elementos del conjunto dado es -3, que es Entero, Racional, Real, pero no es Natural ni Irracional.

Así, cuando se deseen comparar números se tienen dos recursos, uno la definición recurriendo a la resta de los números (a es mayor que b, si y sólo si a - b es un número positivo), y la otra utilizando la recta numérica: si un número a se encuentra a la derecha de un número b, a es mayor que b que es equivalente a decir que b es menor que a.

Cuando se van a comparar números utilizando la calculadora, hay que tener en cuenta lo siguiente:

• El sistema de representación que predomina en las calculadoras es el decimal.
• Si la representación decimal de un número dado tiene una cantidad de dígitos menor o igual a las que puede presentar en pantalla la calculadora, la representación decimal presentada en la calculadora es equivalente con la representación del número dado.
• Si la representación decimal de un número dado tiene más dígitos que las que la calculadora puede presentar en pantalla, las calculadoras aproximan el número bien sea por redondeo o por truncado y la representación de la calculadora puede ser mayor o menor. Aunque las calculadoras emplean notación científica para poder escribir números muy grandes o muy pequeños.

Por ejemplo; si se considera el número racional , algunas calculadoras pueden representar este número de la forma , pero en la mayoría se debe hacer el cociente 3/4, obteniendo el número en representación decimal 0.75; como en este caso la cantidad de dígitos es menor que los dígitos que puede representar una calculadora (normalmente las calculadoras pueden presentar en pantalla 8, 10 o 12 dígitos), la representación dada por la calculadora es igual al número racional dado:

Si se considera el racional y se utiliza una calculadora de 8 dígitos en pantalla, se obtiene el numeral 0.1212121, el cual es una representación aproximada del racional , ya que la representación decimal exacta es , que indica que la representación decimal es infinita y el 12 es periódico. De lo anterior se puede concluir que si se quiere establecer una relación de igualdad o desigualdad entre el número racional y la representación decimal dada por la calculadora, se obtiene que .

Si se considera el número racional y se utiliza una calculadora de 10 dígitos que aproxime el número redondeando la última cifra, se obtiene el numeral 0.272727273, el cual va a ser mayor que el número racional , pues la representación decimal exacta de es , que indica que es infinita y que el 27 es periódico. En este caso, ; pero si se utiliza una calculadora de 10 dígitos, el número que muestra es 0.272727272, el cual va a ser menor que el número racional . En este caso, .

Si se considera el número racional y se utiliza una calculadora de 8 dígitos en pantalla, se obtiene el numeral 0.5714285, donde no se puede observar si la representación del decimal es finita o infinita; en tal caso, es necesario llevar 0.5714285 a su representación , con p y q enteros con ; esto es, y compararlo con , de donde se puede concluir que .
Si se considera el número irracional y se utilizan calculadoras de 8, 10 y 12 dígitos, por redondeo se obtienen, respectivamente, las representaciones decimales: 2.4662121, 2.466212074 y 2.46621207433. Si se compara con cada una de sus representaciones, se puede establecer que:

• , ya que al observar la representación con 10 dígitos 2.46621207433, esta es menor que 2.4662121; la calculadora de 8 dígitos ha redondeado por encima el último dígito.
• , ya que al observar la representación de 12 dígitos 2.746621207433 es mayor que 2.466212074; la calculadora de 10 dígitos ha redondeado por debajo el último dígito.
• La comparación entre y 2.6621207433, no se puede establecer tan fácilmente, porque no se tiene una referencia posterior y no se sabe si la calculadora está redondeando por encima o por debajo el último dígito; pero queda el recurso de elevar ambos números al cubo y establecer la relación entre ellos. y , pero algunas calculadoras vuelven a dar como resultado 15, lo cual significaría los dos numerales son iguales; algo que no es cierto porque se estaría estableciendo la igualdad entre un racional 2.46621207433 y un irracional ; pero otras dan como resultado 14.999999999, que es menor que 15, lo cual permite establecer la desigualdad: , que sería lo correcto.

Si se considera el número irracional e en una calculadora de 12 dígitos, su representación es: e = 2.71828182846. Para saber cual es mayor se calcula la diferencia entre e y el número que da la calculadora, es decir, e - 2.71828182846, si la diferencia es positiva quiere decir que e > 2.71828182846 y la calculadora redondeo por debajo, de lo contrario el redondeo es por exceso.